莫比乌斯反演 & 杜教筛 模板

前记：

突然想学杜教筛，顺便复习莫比乌斯反演。

用 $\mathbb{P}$ 表示质数集。

0.前置

.1 积性函数

对于任意互质的整数 $a$ 和 $b$ 有性质 $f(ab)=f(a)f(b)$ 的数论函数叫做积性函数。

.2 狄利克雷卷积

定义：

对于两个数论函数 $f(x),g(x)$，它们的狄利克雷卷积结果 $h(x)$ 为：

$h(x)=\sum _{d\mid x}f(d)g({\displaystyle \frac{x}{d}})$。记为 $h=f\ast g$。

定义函数 $1(x)=1,\mathrm{id}(x)=x,\epsilon (x)=[n=1]$。

则：

$f\ast 1=\sum _{d\mid x}f(d)\cdot 1=\sum _{d\mid x}f(d)$。

$f\ast \mathrm{id}=\sum _{d\mid x}f(d)\cdot {\displaystyle \frac{x}{d}}$。

$f\ast \epsilon =\sum _{d\mid x}f(d)\cdot [d=x]=f$，所以 $\epsilon$ 被称作单位元，即对于任何数论函数 $f$，$f\ast \epsilon =f$。

性质：

1. 狄利克雷卷积满足交换律，结合律与分配律。

2. 两个积性函数的狄利克雷卷积也是积性函数。

3. 积性函数的逆元也是积性函数。

证明皆略。

.3 欧拉函数

定义：

对正整数 $x$，欧拉函数 $\phi (x)$ 表示小于（或小于等于）$x$ 的正整数中与 $x$ 互质的数的数目。特别规定 $\phi (1)=1$。即：

$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}1& x=1\\ \sum _{i=1}^x(i\mathrm{\perp }x)& x>1\end{array}$$

显然： $\phi (x)=x-1\iff x\in \mathbb{P}$。

性质：

• 性质 1. 若 $p\in \mathbb{P}$，$\phi (p^n)=p^{n-1}(p-1)$。

不大于 $p^n$ 的正整数中，不与之互质的只有 $p,2p\cdots p^{n-1}\cdot p$，共 $p^{n-1}$ 个数，所以 $\phi (p^n)=p^n-p^{n-1}=p^{n-1}(p-1)$。

• 性质 2. 若 $a\mid x$ ，$\phi (ax)=a\phi (x)$。

易得。

• 性质 3. $\phi$ 为积性函数。

证明显然。由于是积性函数，所以根据以上性质与欧拉筛结合，则：

$$\phi (x)=\{\begin{array}{ll}x-1& x\in \mathbb{P}\\ a\cdot \phi ({\displaystyle \frac{x}{a}})& x\notin \mathbb{P},a\mid {\displaystyle \frac{x}{a}}\\ (a-1)\cdot \phi ({\displaystyle \frac{x}{a}})& x\notin \mathbb{P},a\nmid {\displaystyle \frac{x}{a}}\end{array}$$

inline void init(int n)
{
	phi[1]=1;
	for(register int i=2;i<=n;++i)
	{
		if(!phi[i]) phi[i]=i-1,p[++tot]=i;
		for(register int j=1;j<=tot;++j)
		{
			if(i*p[j]>n) break;
			if(!(i%p[j])){phi[i*p[j]]=p[j]*phi[i];break;}
			phi[i*p[j]]=(p[j]-1)*phi[i]; 
		}
	}
	return ; 
}

• 性质 4. $\phi \ast 1=\mathrm{id}$。

将正整数 $x$ 质因数分解为 $\prod _{i=1}^k{p_i}^{c_i}$。

因为 $\phi$ 是积性函数，所以只要证明 $x^{\prime }=p^c$ 时 $\phi \ast 1=\mathrm{id}$ 即可，所以：

$(\phi \ast 1)(n^{\prime })=\sum _{d\mid n^{\prime }}\phi ({\displaystyle \frac{n^{\prime }}{d}})=\sum _{i=0}^c\phi (p^i)=1+(p-1)\sum _{i=0}^{c-1}{p}^i=p^c=n^{\prime }=\mathrm{id}(n^{\prime })$。

1.莫比乌斯反演

.1 莫比乌斯函数

定义：

将正整数 $x$ 质因数分解为 $\prod _{i=1}^k{p_i}^{c_i}$。定义 $\mu$

$$\mu (x)=\{\begin{array}{ll}1& n=1\\ 0& \mathrm{\exists }i\in [1,k],c_i>1\\ (-1{)}^k& \mathrm{\forall }i\in [1,k],c_i\le 1\end{array}$$

实际含义为若 $x$ 含有平方因子则 $\mu (x)=0$，否则若包含奇数个不同质因数则 $\mu (x)=-1$，偶数个则 $\mu (x)=1$。特别规定 $\mu (1)=1$。

性质：

• 性质 1：$\mu$ 是积性函数。

证明显然。

由于 $\mu$ 是积性函数，可以使用欧拉筛筛出。对于大于 $1$ 的正整数 $x$，设 $a$ 为 $x$ 的一个质因数。则：

$$\mu (x)=\{\begin{array}{ll}-1& x\in \mathbb{P}\\ 0& x\notin \mathbb{P},a\mid {\displaystyle \frac{x}{a}}\\ -1\cdot \mu ({\displaystyle \frac{x}{a}})& x\notin \mathbb{P},a\nmid {\displaystyle \frac{x}{a}}\end{array}$$

inline void init(int n)
{
	mu[1]=1;
	for(register int i=2;i<=n;++i)
	{
		if(!flag[i]) p[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(register int j=1;j<=tot&&i*p[j]<=n;++j)
		{
			flag[i*p[j]]=true;
			if(!(i%p[j])){mu[i*p[j]]=0;break;}
			mu[i*p[j]]=-mu[i];
		}
	}
	return ;
}

• 性质 2：$\mu \ast 1=\epsilon$。

设 $n=\prod _{i=1}^k{p_i}^{c_i},n^{\prime }=\prod _{i=1}^k{p}_i$，则 $\sum _{d\mid n}\mu (d)=\sum _{d\mid n^{\prime }}\mu (d)=\sum _{i=0}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})}\cdot (-1{)}^i$。

根据二项式定理有:

$\sum _{d\mid n}\mu (d)=\sum _{i=0}^k{\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{i})}\cdot (-1{)}^i=(1+(-1){)}^k=[n=1]=\epsilon (n)$。

• 即 $\mu \ast 1=\epsilon$。

延伸一下，有：

$[gcd(i,j)=1]=\epsilon (gcd(i,j))=\sum _{d\mid gcd(i,j)}\mu (d)$。

• 即 $[i\mathrm{\perp }j]=\sum _{d\mid gcd(i,j)}\mu (d)$。

结合 $\phi \ast 1=\mathrm{id}$ 可得：

$\mathrm{id}\ast \mu =\phi \ast 1\ast \mu =\phi \ast \epsilon =\phi$。

• 即 $\mu \ast \mathrm{id}=\phi$。

$$\{\begin{array}{l}\mu \ast 1=\epsilon \\ \phi \ast 1=\mathrm{id}\\ \mu \ast \mathrm{id}=\phi \end{array}$$

.2 莫比乌斯变换

对于 $f(n),g(n)$ 两个数论函数，如果有 $f=g\ast 1$，则有 $g=f\ast \mu$。这样，$f(n)$ 称为$g(n)$ 的莫比乌斯变换，$g(n)$ 称为 $f(n)$ 的莫比乌斯反演。

证明较为简单：$f=g\ast 1$ 则 $f\ast \mu =g\ast 1\ast mu=g\ast \epsilon =g$。

所以事实上 $\phi$ 与 $\mu$ 的关系只是 $f=\mathrm{id},g=\phi$ 的一组特例。

扩展:$f(n)=\sum _{i=1}^{n}t(i)g(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )\iff g(n)=\sum _{i=1}^n\mu (i)t(i)f(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )$。感觉证明好复杂，但是形式貌似很好背，不学证明了。

2.杜教筛

.1 杜教筛

杜教筛是一种用来求解数论函数的前缀和的算法，可以在低于线性时间内计算 $s(n)=\sum _{i=1}^{n}f(i)$。

对于一个数论函数 $g$，恒有：

$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)& =\sum _{i=1}^n\sum _{d\mid i}g(d)f({\displaystyle \frac{i}{d}})\\ & =\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^{\lfloor \frac{n}{i}\rfloor }g(i)f(j)\\ & =\sum _{i=1}^{n}g(i)S(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )\\ & =g(1)S(n)+\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )\end{array}$$

这样我们就得到了含有 $S(n)$ 的项，移项得：

$$g(1)S(n)=\sum _{i=1}^n(f\ast g)(i)-\sum _{i=2}^{n}g(i)S(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )$$

也就是现在问题要求找到一个 $g$ ，使得 $(f\ast g)$ 的前缀和与 $g$ 可以被快速的计算出。

.2 杜教筛实例

欧拉函数前缀和：

由 $\phi \ast 1=\mathrm{id}$ 想到使 $g=1$，原式化为：

$$S(n)=\sum _{i=1}^{n}i-\sum _{i=2}^{n}S(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )={\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}}-\sum _{i=2}^{n}S(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )$$

莫比乌斯函数前缀和：

由 $\mu \ast 1=\epsilon$ 想到使 $g=1$，原式化为：

$$S(n)=\sum _{i=1}^n[i=n]-\sum _{i=2}^{n}S(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )=1-\sum _{i=2}^{n}S(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )$$

$\phi \ast \mathrm{id}$ 前缀和：

令 $g=\mathrm{id}$，则：

$$\begin{array}{rl}S(n)& =\sum _{i=1}^n\sum _{d\mid i}(d\cdot \phi (d))\cdot {\displaystyle \frac{i}{d}}-\sum _{i=2}^{n}i\cdot S(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )\\ & =\sum _{i=1}^{n}i\sum _{d\mid i}\phi (d)-\sum _{i=2}^{n}i\cdot S(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )\\ & =\sum _{i=1}^{n}i\cdot (\phi \ast 1)(i)-\sum _{i=2}^{n}i\cdot S(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )\\ & =\sum _{i=1}^{n}i\cdot \mathrm{id}(i)-\sum _{i=2}^{n}i\cdot S(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )\\ & ={\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}}-\sum _{i=2}^{n}i\cdot S(\lfloor {\displaystyle \frac{n}{i}}\rfloor )\end{array}$$

上面三个要用到数论分块，所以经过一堆复杂的我不想推导的时间复杂度的推导，将 $\le n^{\frac{2}{3}}$ 的数常规线筛出来预处理时间复杂度最优，为 $O(n^{\frac{2}{3}})$。

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后记：

srds，是不是还应该去学 SoyTony 筛。

srds，还是除了板题啥也不会。