书

不知道原题解在说什么？结果发现这不就一简单题，改题的难度在于题解。

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定义一个状态二元组 \((i,j)\) 表示当前栈顶书本大小为 \(i\)，书本厚度和为 \(j\)。

设 \(nxt(i,j)\) 为在 \((i,j)\) 状态时加入一本书的状态的可重集。容易发现所有状态构成一棵树。

记 \(F=\sum\limits_{t\in nxt(s)} f_s,G=\sum\limits_{t\in nxt(s)} g_s\)。

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定义 \(g_{i,j}\) 表示在状态 \((i,j)\) 时，之后有多少的概率在 \((i,j)\) 处进行一次弹栈操作。

当 \(j>w\) 时 \(g_{i,j}=0\)；否则设有 \(c\) 个书本大小比 \(i\) 小，记 \(s=(i,j)\)，则：

\[\begin{aligned} g_s&=\dfrac{1}{c+1} + \dfrac{1}{c+1}\sum\limits_{t\in nxt(s)} g_tg_s \\ g_s&=\dfrac{1}{c+1} + \dfrac{G}{c+1}g_s \\ g_s&=\dfrac{1}{c+1-G} \end{aligned} \]

实际意义比较简单，就是考虑进到某个儿子中还有多少概率弹栈回来。

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定义 \(f_{i,j}\) 表示在状态 \((i,j)\) 时，离开以 \((i,j)\) 为根的状态树的子树的期望步数，答案就是 \(f_{\infty,0}\)。

当 \(j>w\) 时 \(f_{i,j}=0\)；否则设有 \(c\) 个书本大小比 \(i\) 小，记 \(s=(i,j)\)，则：

\[\begin{aligned} f_s&=1+\dfrac{1}{c+1}\times 0 + \dfrac{1}{c+1}\sum\limits_{t\in nxt(s)} (f_t+g_tf_s) \\ f_s&=1+\dfrac{F}{c+1}+\dfrac{G}{c+1}f_s \\ f_s&=\dfrac{c+1+F}{c+1-G} \end{aligned} \]

实际意义比较简单，就是如果弹栈了就离开子树了；否则进入到某个儿子后离开儿子子树需要 \(f_t\) 的代价，其中 \(g_t\) 的概率是通过弹栈回到了 \(s\) 状态。这里实际上 \(f_t\) 和 \(g_t\) 不是独立的，但是根据期望的线性性是可以这样拆的。

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题解中的 \(f\) 定义不同，我觉得它完全错。

题解最后几行把 \(c+1\) 当做 \(c\) 了。于是应当是

• 将计数器加上 \(1+\dfrac{F}{c+1}\)。

• 期望随机次数是 \(w=1+(1-\dfrac{P+1}{c+1})w\) 解得 \(w=\dfrac{c+1}{P+1}\)。

• 期望值是 \((1+\dfrac{F}{c+1})\times\dfrac{c+1}{P+1}=\dfrac{c+1+F}{P+1}\)。