脑子笨罢了

数学方面毫无水平，记点东西，理解并背诵吧还是。

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Min-Max 容斥

\[\max\limits_{i\in S} x_i = \sum\limits_{T\subseteq S,T\neq\varnothing} (-1)^{|T|-1} \min\limits_{i\in T} x_i \]

kth-Min-Max 容斥

\[\operatorname{kth-max}\limits_{i\in S} x_i = \sum\limits_{T\subseteq S,|T|\geq k} (-1)^{|T|-k} \binom{|T|-1}{k-1} \min\limits_{i\in T} x_i \]

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FWT-xor

定义 \(x\otimes y=\operatorname{popcount}(x\operatorname{bitand}y)\bmod 2\)。

\(g_i=\sum\limits_{i\otimes j=0}f_j-\sum\limits_{i\otimes j=1} f_j\)

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\(k\) 维 FWT

转移矩阵 \(A_{i,j}=\omega_k^{ij}\)

逆矩阵 \({A^{-1}}_{i,j}=\dfrac{1}{k}\omega_k^{-ij}\)

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莫比乌斯反演：

\(\sum\limits_{d\mid n}\mu(d)=[n=1]\)

形式一：

\[f(n)=\sum\limits_{d\mid n}g(d)\iff g(n)=\sum\limits_{d\mid n}f(d)\mu(\dfrac{n}{d}) \]

形式二：

\[f(n)=\sum\limits_{n\mid d}g(d)\iff g(n)=\sum\limits_{n\mid d}f(d)\mu(\dfrac{d}{n}) \]

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单位根反演：

形式：

\[\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}(\omega_n^k)^i=[n\mid k] \]

当 \(n\mid k\) 时 \(\omega_n^k=\omega_n^0=1\)。

当 \(n\nmid k\) 时，等比数列求和得到 \(\dfrac{1}{n}\cdot \dfrac{\omega_n^{kn}-1}{\omega_n^k-1}\)，\(\omega_n^{kn}-1=w_n^0-1=0\)。

拓展：

\([k\bmod n=a]=[(k-a)\bmod n=0]=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}(\omega_n^{k-a})^i=\dfrac{1}{n}\sum\limits_{i=0}^{n-1}\omega_n^{ki}\omega_n^{-ai}\)

\[\begin{aligned} \sum\limits_{i=0}^n [k\mid i][x^i]F(x)&=\sum\limits_{i=0}^n [x^i]F(x)\dfrac{1}{k} \sum\limits_{j=0}^{k-1} (\omega_k^i)^j \\ &=\dfrac{1}{k}\sum\limits_{j=0}^{k-1}\sum\limits_{i=0}^n [x^i]F(x)(\omega_k^j)^i \\ &=\dfrac{1}{k}\sum\limits_{j=0}^{k-1} F(\omega_k^j) \end{aligned} \]

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（分圆多项式：）

定义：\(\Phi_n(x)=\prod\limits_{i<n,\gcd(i,n)=1}(x-\omega_n^i)\)。

分圆多项式是一个不可约的整系数多项式，有：\(x^n-1=\prod\limits_{d\mid n}\Phi_d(x)\)。

对上式先 \(\ln\) 再莫反再 \(\exp\)：

\[\begin{aligned} x^n-1&=\prod\limits_{d\mid n}\Phi_d(x) \\ \ln(x^n-1)&=\sum\limits_{d\mid n}\ln(\Phi_d(x)) \\ \ln(\Phi_n(x))&=\sum\limits_{d\mid n}\ln(x^d-1)\mu(\dfrac{n}{d}) \\ \Phi_n(x)&=\prod\limits_{d\mid n}(x^d-1)^{\mu(\frac{n}{d})} \end{aligned} \]

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有 \(f(0)=0,f(1)=1,f(n)=af(n-1)+bf(n-2)\) 且 \(\gcd(a,b)=1\)，则：

• \(f(n+m)=f(n+1)f(m)+bf(n)f(m-1)\)。

• \(\gcd(f(x),f(y))=f(\gcd(x,y))\)。

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一些封闭形式：

\(\sum\limits_{n\geq 0} x^n=\dfrac{1}{1-x}\)

\(\sum\limits_{n\geq 0} p^nx^n=\dfrac{1}{1-px}\)

\(\sum\limits_{n\geq 0} x^{2n}=\dfrac{1}{1-x^2}\)

\(\sum\limits_{n\geq 0} \binom{m+n}{n}x^n=\dfrac{1}{(1-x)^{m+1}}\)

\(\sum\limits_{n\geq 0} (n+1)x^n=\dfrac{1}{(1-x)^2}\)

\(\sum\limits_{n\geq 0}(kn+b)x^n=\dfrac{kx}{(1-x)^2}+\dfrac{b}{1-x}\)

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等比数列求和：

\[\sum\limits_{i=1}^n a_i=\dfrac{a_1(q^n-1)}{q-1} \]