P11592 [NordicOI 2024] Chair Game

合集 - 题解(31)

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31.P11592 [NordicOI 2024] Chair Game01-22

先直接从 IMO2005 预选赛 C7 开始看。

问题：

给定一个长度为 $n$ 的序列 $a$ ，保证 $n ∣ (\sum a_{i})$ 。证明存在两个排列 $σ$ 与 $τ$ ，使得 $σ_{i} + τ_{i} \equiv a_{i} (\mod n)$ 。

解：

若存在一个序列 $a$ 和其的一组解 $(σ, τ)$ ，同时存在一个序列 $b$ ，与 $a$ 有恰好两个位置值不同。考虑通过 $a$ 和 $(σ, τ)$ 得出 $b$ 的一组解 $(σ^{'}, τ^{'})$ 。如果能够完成这个问题，则证明了原问题。

记两个序列不相同的位置为 $i_{1}, i_{2}$ ，对于 $2 \leq k < n$ ， $i_{k + 1}$ 是唯一满足 $σ_{i_{k - 1}} + τ_{i_{k + 1}} \equiv b_{i_{k}}$ 的位置。

引理：记 $(p, q)$ 是最小的满足 $i_{p} = i_{q}$ 的二元组，则一定有 $p = 1$ 或 $p = 2$ $^{†}$ 。

于是我们得到了一组 $b$ 的解 $(σ^{'}, τ^{'})$ ：

σ_{i_{k}}^{'} = {\begin{cases} σ_{i_{q - 1}} & k = 1 \\ σ_{i_{k - 1}} & 2 \leq k < q \end{cases}

τ_{i_{k}}^{'} = {\begin{cases} τ_{i_{1}} & k = 1 \land p = 2 \\ τ_{i_{2}} & k = 1 \land p = 1 \\ τ_{i_{k + 1}} & 2 \leq k < q \end{cases}

\forall j \notin {i_{1} \dots i_{q - 1}}, σ_{j}^{'} = σ_{j}, τ_{j}^{'} = τ_{j}

对于 $j \neq i_{1}$ ， $σ_{j}^{'} + τ_{j}^{'} \equiv b_{j}$ 都是根据定义得到的，而 $\sum σ_{j}^{'} + \sum τ_{j}^{'} = n (n + 1) \equiv 0 \equiv \sum b_{j} (\mod n)$ ，所以 $σ_{i_{1}}^{'} + τ_{i_{1}}^{'} \equiv b_{i_{1}}$ 自然成立。

$†$ ：

对于引理的证明，假设 $p > 2$ ，此时有：

\begin{aligned} \sum_{k = p}^{q - 1} b_{i_{k}} & \equiv \sum_{k = p}^{q - 1} σ_{i_{k - 1}} + τ_{i_{k + 1}} \\ \equiv σ_{i_{p - 1}} + σ_{i_{p}} + τ_{i_{q - 1}} + τ_{i_{q}} + \sum_{k = p + 1}^{q - 2} σ_{i_{k}} + τ_{i_{k}} \\ b_{i_{p}} + b_{i_{q - 1}} & \equiv σ_{i_{p - 1}} + σ_{i_{p}} + τ_{i_{q - 1}} + τ_{i_{q}} \end{aligned}

因为 $i_{p} = i_{q}$ ，所以上式变成 $b_{i_{q - 1}} \equiv σ_{i_{p - 1}} + τ_{i_{q - 1}}$ ，也就是有 $i_{p - 1} = i_{q - 1}$ ，与 $(p, q)$ 定义相左，所以假设不成立。

翻译自：IMO Shortlist 2005

回到原问题，那么就相当于现在要使 $σ_{i} + s_{i} \equiv τ_{i} (\mod n)$ ，即 $τ_{i} - σ_{i} \equiv s_{i} (\mod n)$ 。

首先， $n ∣ (\sum s_{i})$ 是有解的充要条件，充分性上面已经说过了。

必要性就是考虑最终答案序列 $f_{i}$ ，从 $i$ 向 $(i + f_{i} - 1) mod n + 1$ 连边，最终一定要构成若干置换环，每个置换环内的 $f_{i}$ 之和一定是 $n$ 的倍数。所以 $n ∣ (\sum s_{i})$ 是必要的。

于是就变成上面的问题了。

构造的话考虑先随便弄出一组合法的 $a, (σ, τ)$ ，然后一位一位调整，直接模拟上述过程即可。时间复杂度 $O (T n^{2})$ 。

感觉 MO 的思路比较奇怪，有没有什么符合 OI 思维的思路，或者说上面那个东西实际上做的是什么？

posted @ 2025-01-22 11:17 int_R 阅读(43) 评论(0) 编辑收藏举报

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