【图论】同余最短路

1.【图论】同余最短路2024-01-17

2.【数论】二次剩余2024-01-17

省选模拟赛 T3 一小部分用到了同余最短路，发现这简单东西自己从来没学过，补一下。

$n$ 个正整数，分别为 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ ，求 $[0, V]$ 中有多少个数可以被表示为 $\sum_{i = 1}^{n} A_{i} x_{i}, x_{i} \in N$ 。

可以完全背包，但复杂度 $O (n V)$ ，当 $V$ 很大的时候复杂度直接上天，我们想要找到一种与 $V$ 无关的算法。

发现如果 $x$ 可达，那么 $x + k A_{1}, k \in N$ 都可达。也就是对于每个模 $A_{1}$ 的同余类 $[x]$ ，记其中可达的最小值为 $d_{x}$ ，则这个同余类中所有大于等于 $d_{x}$ 的数都可达。

假设现在我们知道 $d_{x}$ ，我们加入一个数 $v$ ，相当于有对 $y = (x + v) mod A_{1}$ 有一个转移 $d_{y} = min (d_{y}, d_{x} + v)$ ，类似最短路的形式。所以我们对于 $i \in [2, n], j \in [0, A_{1})$ 都建一条边 $j \to (j + A_{i}) mod A_{1}$ ，边权为 $A_{i}$ ，再在这个图上跑最短路，得到的答案即为每个同余类中可达的最小的数。

这样点数为 $A_{1}$ ，边数为 $n A_{1}$ ，使用 dij 的话时间复杂度 $O (n A_{1} + n \log (n A_{1}))$ 。

但是其实最短路是不必要的，对于一个数 $v$ ，在模 $m$ 时像上面那样建边，会形成 $gcd (v, m)$ 个子环，更新只会在同一个子环中进行，在没有负环的时候更新肯定不会转满一整圈，所以只需要在这个环里转两圈就可以把所有可能的更新都进行完。

这样枚举 $n - 1$ 个数字，时间复杂度 $O (n A_{1})$ 。

可以选择最小的数作为 $A_{1}$ 来减小常数。

P3403 跳楼机板子。

    memset(dis,63,sizeof(dis));
    for(int i=0;i<x;++i)
        add(i,(i+y)%x,y),add(i,(i+z)%x,z);
    q.push({1,1%x});dis[1%x]=1;
    while(!q.empty())
    {
        int x=q.top().second;q.pop();
        if(vis[x]) continue;vis[x]=true;
        for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
        {
            int y=to[i];
            if(dis[y]>dis[x]+val[i])
                dis[y]=dis[x]+val[i],q.push({dis[y],y});
        }
    }
    for(int i=0;i<x;++i)
        if(dis[i]<=h) ans+=(h-dis[i])/x+1;

    memset(dis,63,sizeof(dis));dis[1%x]=1;
    for(int i=0,lim=__gcd(y,x);i<lim;++i)
    {
        for(int cnt=0,p=i;cnt<2;cnt+=p==i)
        {
            int q=(p+y)%x;
            dis[q]=min(dis[q],dis[p]+y);p=q;
        }
    }
    for(int i=0,lim=__gcd(z,x);i<lim;++i)
    {
        for(int cnt=0,p=i;cnt<2;cnt+=p==i)
        {
            int q=(p+z)%x;
            dis[q]=min(dis[q],dis[p]+z);p=q;
        }
    }
    for(int i=0;i<x;++i)
        if(dis[i]<=h) ans+=(h-dis[i])/x+1;

P8060 [POI2003] Sums 也是板子。

P2371 [国家集训队] 墨墨的等式仍是板子。

P2662 牛场围栏还是板子。

答案是 $max {(⌊ \frac{d_{i}}{A_{1}} ⌋ - 1) A_{1} + i, 0}$ 。

P9140 [THUPC 2023 初赛] 背包

贪心加同余最短路。特殊的数据范围保证了 $V$ 的下界，所以贪心的以性价比最高的为基准物品，跑同余最短路。转移时 $d_{y} = max (d_{y}, d_{x} + c_{i} - ⌊ \frac{x + v_{i}}{v_{1}} ⌋ c_{1})$ 。答案是 $d_{V mod v_{1}} + ⌊ \frac{V}{v_{1}} ⌋ c_{1}$ 。

[ABC077D] Small Multiple

不太常规，记 $d_{x}$ 为模 $k$ 的同余类 $[x]$ 中最小的数位累加和，对于 $i \in [0, k)$ 分别建 $(i, (i + 1) mod k, 1)$ 和 $(i, (i * 10) mod k, 0)$ 的边，分别表示最后一位加一和扩大十倍，这样可以构造出所有数字。初始使 $d_{1} = 1$ ，答案为 $d_{0}$ 。