【笔记】组合数学

不破不立，重新记

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计数原理

加法原理

做一件事，有$n$类办法，第$i$类办法有$m_i$种不同的方法,做这件事总共有多少种方案？

我们设总方案数为$N$,则$N$满足：

$N=m_1+m_2+m_3+......+m_{n-1}+m_n$

我们称此为加法原理

乘法原理

做一件事，需要完成$n$个子步骤，第$i$个子步骤有$m_i$种不同的方法，做这件事总共有多少种方案？

我们设总方案为$N$,则$N$满足：

$N=m_1\times m_2\times m_3\times ......\times m_{n-1}\times m_n$

我们乘此为乘法原理

抽屉原理

有$n+1$个物品放入$n$个抽屉里，至少有一个抽屉里的物品放不少于$2$个物品。

如果每个抽屉代表一个集合，每一个物品就可以代表一个元素，假如有$n+1$个元素放到$n$个集合中去，其中必定有一个集合里至少有两个元素。

容斥原理

在计数时，必须注意没有重复，没有遗漏。为了使重叠部分不被重复计算，人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。---------百度百科。

要注意计数时没有重复没有遗漏，具体问题需要具体对待。

排列

排列数

有$n$个物品,从中取$k$个出来，方案数为多少？（若先后顺序不同，视为两种方案）

我们设方案数为$A$,从$n$个物品里选$k$个的方案数为$A_n^k$,则：
$A_n^k=n(n-1)(n-2)......(n-k+1)={\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}}$

我们称$A_n^k$为从$n$个不同元素中取$k$个元素的排列数

注：$m<=n$

推导:

我们可以把取物过程分为$k$个步骤。

第一步，从$n$个物品中取走一个,有$n$种取法

第二步，从$n-1$个物品中取走一个，有$n-1$种取法

第$i$步，从$n-i$个物品中取走一个，有$n-i$种取法

第$n-k+1$步，从1个物品中取走一个，有1种取法

根据乘法原理，可得$A_n^k=n(n-1)(n-2)......(n-k+1)={\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}}$

一个公式：

$A_n^k$ + $k\ast A_n^{k-1}$ = $A_{n+1}^k$

证明：

$A_n^k+k\ast A_n^{k-1}={\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}}+k\ast {\displaystyle \frac{n!}{(n+1-k)!}}$

$={\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}}\ast (1+{\displaystyle \frac{k}{(n+1-k)}})$

$={\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!}}\ast {\displaystyle \frac{n+1}{n+1-k}}$

$={\displaystyle \frac{(n+1)!}{(n+1-k)!}}=A_{n+1}^k$

圆排列

有$n$个物品，从中取$k$个出来并不分手尾的排列成一个圆，问方案数有多少？

$A_n^k={\displaystyle \frac{n!}{(n-k)!\times k}}$

组合

组合数

有$n$个物品，从中取$k$个出来,方案数为多少？（若前后顺序不同，视为一种方案）

我们定义方案数为$C_n^k$或者${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$

我们称$C_n^k$或者${\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$为从$n$个元素中取$k$个元素的组合数

注：此处$k<=n$
$C_n^k={\displaystyle (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}={\displaystyle \frac{n!}{k!(n-k)!}}$

插板法

有$n$个小球，放入$k$个箱子里，要求每个箱子至少放入一个（$n>=k$），有多少种放法？

我们把$n$个小球排成一排，每两个小球之间会有一个空隙，共有$n-1$个空隙，我们把箱子当做隔板，插入到空隙里，只要插入$k-1$次就能把球分成$k$份。

所以总方案数为：

$$C_{n-1}^{k-1}$$

如果我们把"每个箱子至少放入一个小区"这样条件去掉，结果如何？

在上种情况的基础上，我们还可以把多个板子插在同一个空隙中，多了$k$个可以插的地方，所以答案为：

$$C_{n+k-1}^{k-1}$$

组合数的性质：

性质一：

$$C_{n+m}^n=C_{n+m}^m$$

实际意义：从$n+m$个元素中取$n$个元素的方案数，等于从中取$m$个元素剩下$n$个元素的方案数

性质二：

$$C_n^m=C_{n-1}^{m-1}+C_{m-1}^m$$

推导：

$${\displaystyle \frac{(n-1)!}{(m-1)!(n-m)!}}+{\displaystyle \frac{(n-1)!}{m!(n-m-1)!}}={\displaystyle \frac{n!}{m!(n-m)!}}$$

实际意义：从$n$个元素里选$m$个元素，每一个元素有选和不选两种情况，如果选，那么还要在剩下的$n-1$个元素中选$m-1$个元素；如果不选，那么还要在剩下的$n-1$个元素中选$m-1$个元素。两种情况是并列关系，根据加法原理，总方案数等于两种情况方案数之和。

性质三：

$$C_n^0+C_n^1+C_n^2+......+C_n^n=2^n$$

实际意义：在$n$个元素中选出任意个元素的方案数。

总共有$n$种元素，每种元素都有选和不选两种情况，根据乘法原理，总共有$2^n$种情况。

卢卡斯定理

Lucas 定理用于求解大组合数取模的问题，其中模数必须为素数。公式如下：

$$C_n^m=C_{n/p}^{m/p}\times C_{n\mathrm{\%}p}^{m\mathrm{\%}p}$$

也可以写作

$$Lucas(n,m)=Lucas(n/p,m/p)\times Lucas(n\mathrm{\%}p,m\mathrm{\%}p)$$

其中$\mathrm{\%}$为$mod$运算，$p$为素数。特别的，$Lucas(n,0)=1$

卢卡斯定理一般应用于模数很大的情况下，若模数较小，则可以预处理$1$到$p-1$的阶乘和逆元进行优化。