XXII Open Cup. Grand Prix of Korea

目录

  H.Or Machine
  J.Periodic Ruler
  A.Automatic Sprayer 2

H.Or Machine

4s

Problem

给定 $n$ 个不超过 $2^8$ 的数字 $x_1~x_n$。
给定 $l$ 个操作 $(a,b)$，表示 $x_a = x_a | x_b$，其中 $|$ 是按位或。
给定 $t$ 表示进行 $t$ 次操作，按照操作$0$，操作$1$，……，操作$l-1$，操作$0$，操作$1$，……，操作$l-1$，操作$0$，操作$1$，……，操作$l-1$，……的顺序。
求最后得到的 $x_1~x_n$ 的值
$1\leq n,l\leq 2^{18} , 1\leq t\leq 10^{18}$

Solution

显然可以把8位分开做。
即只需考虑 $x_i \in \{0,1\}$ 的情况
可以发现 当 $x_i$ 变成 $1$ 后，就不可能变回 $0$ ，于是只需求出每个数变成 $1$ 的时间，和 $t$ 做比较即可。
对于每个操作 从$b$向$a$连边，边权为操作的下标。然后直接 Dijkstra 即可，当然 路径长度不是简单的边权之和，具体见代码。

Code

#include<set>
#include<map>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
template<typename T> inline void read(T &x){
	x=0; bool f=false; char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c=='-') f=true; c=getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48); c=getchar(); }
	if(f) x=-x;
}
template<typename T> void print(T x){
	if(x>9) print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
const int N=1000006;
int n,l,t,x[N],y[N],dis[N],ans[N];
int to[N],w[N],nxt[N],head[N],cnt;
inline void add(int a,int b,int c){to[++cnt]=b;w[cnt]=c;nxt[cnt]=head[a];head[a]=cnt;return;}
int merg(int a,int b){
	if(a==0) return b+1;
	if((a-1)%l<b) return a+b-(a-1)%l;
	return a+b-(a-1)%l+l;
}
bool vis[N];
priority_queue<pair<int,int> > q; 
void dijkstra(){
	memset(vis,0,sizeof(vis)); 
	for(int i=1;i<=n;++i) if(dis[i]==0) q.push(make_pair(0,i));
	while(!q.empty()){
		int now=q.top().second;q.pop();
		if(vis[now]) continue; vis[now]=true;
		for(int i=head[now];i;i=nxt[i]){
			if(dis[to[i]] > merg(dis[now],w[i])){
				dis[to[i]] = merg(dis[now],w[i]);
				q.push(make_pair(-dis[to[i]],to[i]));
			}
		}
	}
	return;
}

signed main(){
	read(n);read(l);read(t);
	for(int i=0,a,b;i<l;++i) {
		read(a);read(b);
		add(b,a,i);
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) read(x[i]);
	for(int k=1;k<256;k*=2){
		for(int i=1;i<=n;++i) dis[i]=1000000023330000018ll;
		for(int i=1;i<=n;++i) {
			y[i]=(x[i]&k);
			if(y[i]) dis[i]=0;
		}
		dijkstra();
		for(int i=1;i<=n;++i) if(dis[i]<=t) ans[i]+=k;
//		for(int i=1;i<=n;++i) cout<<dis[i]<<' '; cout<<endl;
	}
	for(int i=1;i<=n;++i) printf("%lld ",ans[i]);
	return 0;
}

J.Periodic Ruler

2s

Problem

有一把无限长的尺子，被染上了颜色，颜色用1~100的整数表示。
尺子的颜色序列有一个最小正周期。
现在已知尺子上 $n$ 个点的颜色，求出所有的 $t$ 满足：无论其余点如何染色， $t$ 都不是尺子的最小正周期。
输出这些 $t$ 之和，以及 $t$ 的个数。
注意：周期不一定都是最小正周期。
$1\leq n\leq 50,|x_i|\leq 10^9,a_i\leq 100$

Solution

注意到$n$只有$50$，但有$100$种颜色。
对于任意一个 $t$，我们可以得到一个长为$t$的数组，把每个点的颜色按他们的坐标模$t$的余数对应过来。
考虑比 $n$ 大的 $t$
对于任意两个颜色不同的位置，他们的距离的因数一定满足条件。
除此之外 一定不满足条件。这是因为 $t$ 一定是尺子的周期，且得到的 $t$ 数组一定没有被完全染色，而我们手中又有50多个没用过的颜色，所以（我猜测）一定可以构造出一种方案使得 $t$ 是最小正周期。
考虑不超过 $n$ 的 $t$
枚举这些 $t$，
假如按照模$t$对应过来的颜色有冲突，则满足条件。
若没有冲突，假如有未染色格子，则不满足条件（同比$n$大的情况）。
若没有冲突且完全染色，则$O(t)$枚举所有比$t$小的数，检查是不是周期。若都不是则不满足条件，若有一个是则满足条件。

Code

#include<set>
#include<map>
#include<cmath>
#include<queue>
#include<vector>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define int long long
using namespace std;
template<typename T> inline void read(T &x){
	x=0; bool f=false; char c=getchar();
	while(!isdigit(c)){ if(c=='-') f=true; c=getchar(); }
	while(isdigit(c)){ x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48); c=getchar(); }
	if(f) x=-x;
}
template<typename T> void print(T x){
	if(x>9) print(x/10);
	putchar(x%10+'0');
}
int n,x[100],a[100],cnt,sum;
map < int , bool > ans;
void solve1(int dis){
	//dis 大于 n 的 因子 
	for(int i=1;i*i<=dis;++i){
		if(dis%i==0){
			if(i>n) ans[i]=true;
			if(dis/i>n) ans[dis/i]=true;
		}
	}
	return;
}
int T[100];
bool solve2(int t){
	//若有冲突 入队 
	//else	若未填满  不入
	// 		若填满 O(t^2)找有没有更小的 --> 有则入队  
	memset(T,0,sizeof(T));
	for(int i=1;i<=n;++i){
		if(T[x[i]%t] && T[x[i]%t]!=a[i]) return 1;
		T[x[i]%t]=a[i];
	}
	for(int i=0;i<t;++i) if(T[i]==0) return 0;
	for(int tt=1;tt<t;++tt){
		for(int i=0;i<t;++i)
			if(T[i]!=T[(i+tt)%t])
				goto nxt;
		return 1;
		nxt:;
	}
	return 0;
}
signed main(){
	read(n);
	for(int i=1;i<=n;++i) read(x[i]),read(a[i]),x[i]+=1000000010;
	for(int i=1;i<=n;++i)
		for(int j=i+1;j<=n;++j)
			if(a[i]!=a[j]){
				solve1(abs(x[i]-x[j]));
			}
	for(int t=1;t<=n;++t){
		if(solve2(t)) ans[t]=true;
	} 
	for(auto it : ans) if(it.second) ++cnt,sum+=it.first/*,print(it.first)*/;
	printf("%lld %lld",cnt,sum);
	return 0;
}

A.Automatic Sprayer 2

2s

Problem

两个 $n*n$ 的矩阵 $A,E$。满足：$E_{i,j}=\sum_{x=1}^n\sum_{y=1}^n dis(i,j,x,y)*A_{x,y}$,where $dis(i,j,x,y)=|i-x|+|j-y|$。
给出 $n,E$ ，求 $A$。

Solution

对$E$的任意一行二阶差分得到矩阵$A$第$2~n-1$列每列的和$sum1[2~n-1]$。
对$E$的任意一列二阶差分得到矩阵$A$第$2~n-1$行每行的和$sum2[2~n-1]$。
对于$E$的四个角，以左上角为例。
$E_{1,1}=\sum_{i=1}^n (i-1)*sum1[i] + \sum_{i=1}^n (i-1)*sum2[i]=(n-1)*(sum1[n]+sum2[n])+\sum_{i=1}^{n-1} (i-1)*sum1[i] + \sum_{i=1}^{n-1} (i-1)*sum2[i]$
于是可以求出$sum1[n]+sum2[n]$。同理得到$sum1[1]+sum2[1]$,$sum1[1]+sum2[n]$。再结合 $\sum_{i=1}^n sum1[i] = \sum_{i=1}^n sum2[i]$。即可解出 $sum1[1],sum1[n],sum2[1],sum2[n]$。
这样就得到了所有的 $sum1[1~n],sum2[1~n]$
下面只要构造任何一个满足上述条件的 $A$ 即可。
构造方法：枚举每个格子$(i,j)$，$A_{i,j}=min(sum1[j],sum2[i])$，$sum1[j]-=A_{i,j},sum2[i]-=A_{i,j}$。

作者：_Veritas
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