38th Petrozavodsk Programming Camp, Winter 2020 Day 5: Jagiellonian U Contest, Sunday, February 2, 2020
XJTU ICPC Team Selection - Summer 2021 - Day2
A.Bags of Candies
2s
Description
有\(1,2,3...,n\) 共\(n\)个数，你可以将两个不互质的数配对。求最多能配对几对。
\(1\leq n \leq 10^{11}\)
Solution
首先，记\(D=(\frac{n}{2},n]\)中所有质数的集合\(\cup \{1\}\)，\(D\)中的数一定无法配对，于是得到最多配对数的上界是\(\lfloor\frac{n-|D|}{2}\rfloor\)。记\(S=\{1,2,3,...,n\} \backslash D\)。将\(S\)中的数按最大质因数分组，对于每一组，若组中有偶数个数，则将它们两两配对；若组中有奇数个数，可以证明其中必有一个偶数，将组中的数两两配对并剩下一个偶数。这样一来每个大小为奇数的组都会剩下一个偶数，将剩余的偶数两两配对（若\(n-|D|\)为奇数则会剩余一个）。这样恰好配对\(\lfloor\frac{n-|D|}{2}\rfloor\)对。
所以答案就是\(\lfloor\frac{n-|D|}{2}\rfloor=\lfloor\frac{n-(\pi(n)-\pi(\frac{n}{2}))}{2}\rfloor\)
我们可以使用埃氏筛的改进算法在\(O((r-l)\log\log(r-l)+\sqrt{r})\)求一个区间\([l,r]\)内的质数个数（筛出\(\sqrt{r}\)内的质数，然后拿这些质数筛区间里的数即可）。
利用此算法，将\((1,10^{11})\)分成\(10^4\)块，将每块的质数个数打表。然后再利用此算法求解非完整块的答案即可。
B.Binomial
5s
Description
给你一个序列\(a_1,a_2,...,a_n\)，求有几对\((i,j)\)满足\(1\leq i,j\leq n\)且\(C_{a_i}^{a_j}\)为奇数。若\(n<k\)，则\(C_{n}^{k}=0\)。
\(1\leq n\leq 10^6\) ， \(1\leq a_i\leq 10^6\)
Solution
由Lucas定理可以推出，\(C_{n}^{k}\)为奇数 等价于 (n&k)==k .
然后问题就转化成了一个"Sum over Subsets(SOS) DP"问题。（我不会）
C.
D.
25s
Description
一个周长为\(10^6\)的圆上有\(n\)个弧（$1\leq n\leq 3000）。请选出尽可能多的弧使得它们两两相交。
E.
F.
G.
2s
Description
给你\(n\)个黑点和\(n\)个白点。请你将黑点和白点两两配对，然后对每一对点找出一个连接两点的折线，使得\(n\)条折线互不相交。
要求折线最多折100下且折线上的点横纵坐标绝对值不能超过1000。
\(1\leq n\leq 6\) ， 黑白点横纵坐标绝对值不超过100，保证每个点横坐标不同，每个点纵坐标不同，不存在三点共线。
Solution1
将\(2n\)个点按横坐标排序，依次放入栈中，若栈顶元素与它下面的元素一黑一白则将它们取出，然后连线。连线方式为：从一点向上走到max(黑点纵坐标,白点纵坐标,maxY+1)处，然后向左/右走到另一点上方，然后向下。每次连接后用两个点的纵坐标更新maxY。
Solution2（正确性未证明）
枚举全部的\(n!\)种连接方式，两点间直接连线段，假装可以证明一定有一种连接方式满足条件。
H.
I.Sum of Palindromes
2s
Description
给你一个数，把它拆成若干回文数的和。输出方案
\(z\)组询问，\(1\leq z\leq 20000\)
\(1\leq n<10^{100000}\) ， \(z\)次询问\(n\)的和不超过\(10^{3000000}\)
注意回文数不能有前导0，即3630不是回文数
J.Space Gophers
20s
Description
一个棱长\(10^6\)的立方体，里面有\(n\)条平行于\(x/y/z\)轴的隧道（如(-1,1,1)表示所有形如(x,1,1)的点构成的隧道）。\(q\)次询问每次给出两个点，判断它们是否联通。（你可以像上下左右前后8个方向走，注意(-1,1,1）和(1,-1,2)两个隧道是可以相互到达的）
K.
L.Wizards Unite
2s
Description
有\(n\)个箱子，\(k\)个银钥匙和\(1\)个金钥匙。
打开箱子要消耗\(t_i\)的时间。银钥匙是一次性的，金钥匙reusable。多个钥匙可以同时开多个箱子，一个钥匙只能同时开一个箱子。最少用多长时间。
\(1\leq k\leq n\leq 10^5\)
Solution
max(最长的\(k\)个取最大值，剩下的加起来)
这场真的难，平均AC 1.1题
