【比赛】【SMOJ 2019.3.17】

我 T M 需 要 练 一 下 D F S

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\(\mathrm{T1}\)

其实用一张图就能说明白。

对于红点，它被找到的概率为

\[\mathrm{P=1-(1-80\%)(1-50\%)(1-30\%)(1-40\%)=4.2\%} \]

（利用容斥原理）

代码挺简单的，tmd就是DFS写错了。

\(\mathrm{Code}\)

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\(\mathrm{T2}\)

首先可以发现，如果玩家能挺到最后，那他肯定把每一关能拿到的金币都拿到了，

所以答案至少有\(\sum\limits_{i=1}^{n}value_i\)。

然后因为死了之后金币会重置，所以当我们挺到最后时，我们只会在一个关卡捡到上次死了之后遗落的金币。

如果用\(f_i\)表示在第\(i\)关死亡后遗落金币数的期望值，用\(fp_i\)表示玩家恰好死在第\(i\)关的概率，那么答案就等于

\[\sum\limits_{i=1}^{n}(value_i+f_i\times fp_i) \]

接下来重点看\(f_i\)怎么求。

其实也很简单，你能挺到第\(i\)关的话，说明你肯定把前\(i-1\)关的金币都拿到了，而且在这前\(i\)关中你肯定只会捡到一次遗落在地上的金币，所以我们只要枚举一下你在哪一关捡到了金币即可。

为了方便，可以预处理出\(\sum\limits_{j=1}^{i}value_j\)的值，用\(sv_i\)表示

也就是说：

\[f_i=sv_{i-1}+\sum\limits_{j=1}^{i}f_j \times fp_j \]

为了避免转移到自己，我们把式子右边的\(f_{k=i}\)移到左边，得到

\[f_i=\dfrac{sv_{i-1}+\sum\limits_{j=1}^{i-1}f_j \times fp_j}{1-fp_i} \]

然后就可以了。

\(\mathrm{Code}\)

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\(\mathrm{T3}\)

首先可以发现\(m\)最大只有\(50\)，所以我们可以把\(0\sim49\)这\(50\)个数字分开搞。

对于每个数字，设\(sum_i\)表示原数组的前\(i\)个元素中有多少个当前所求的数字。

根据数组有主元素的定义：一个区间\((l,r]\)有主元素当且仅当：

\[sum_r-sum_l>\frac{r-l}{2} \]

可以推导出：

\[2(sum_r-sum_l)>r-l \]

去括号、移项可得：

\[2sum_r-r>2sum_l-l \]

也就是说，对于每个\(sum_r\)，只需要求出有多少个\(2sum_l-l\)满足上面的式子即可。

这种区间查询个数的问题不是可以用树状数组吗

但是因为\(2sum_i-i\)可能小于\(0\)，所以在树状数组中修改时要加上大约\(10^5\)的偏移量。

\(\mathrm{Code}\)