乱七八糟的算法复习
笛卡尔树
一棵二叉树，结构上满足左子树的下标小于自己和右子树，右子树的下标大于自己和左子树。且键值满足堆的限制。
栈构建。维护当前根节点向右一直跳的右链，那么按数组下标顺序插入，每次插入，从栈顶一个个考虑，如果当前的节点的键值不配当他的父亲，那么就弹栈并继续，如果栈空或者找到一个可以当他的父亲的节点，将这个节点的右子树设成当前点的左子树，并将当前点的父亲设为这个节点。
KMP
\(f_i\) 表示最大的 \(S_{1,f_i}=S_{i-f_i+1,i}\)。匹配别人和自己都是类似的跳 f。
manacher
首先构建上在第一个位置插入奇怪字符，其余相邻字母间和第一个字母前、最后一个字母后插入一个相同的另外特殊字符
设 \(f_i\) 表示以 \(i\) 为回文中心的最长回文串，维护 \(mid,r\) 表示当前回文串最靠右的能达到 \(r\)，其回文中心是 \(mid\)，那么每次考虑新位置只需设初值为 \(\min(f_{mid + mid-i},r-i+1)\)，然后暴力扩展即可。
欧拉路径/回路
经过所有边恰好一次的路径/回路。
有向图存在欧拉回路的充要条件的图联通，且所有点满足入度等于出度。路径就是一个点入度比出度大一，就是终点，另一个点出度比入度大一，就是起点。
无向图存在欧拉回路就是所有点度数为偶数，路径就是有且只有两个点度数为奇数，就是起点和终点。
遇到一些有关度数的题可以往这方面考虑。
求法的话，直接从起点开始搜索，并将搜到的边删掉（无向图则双向都删）即可。过程中，要求经过点顺序的话是搜完有关这个点的边再丢栈里，边就是搜完边再丢栈里，答案就是栈顶到栈底。
子集卷积
求 \(c_i=\sum_{j|k=i,j\&k=0} a_j b_k\)。设 \(ppc(i)\) 是 \(i\) 二进制下的 \(popcount\)。
考虑转成或卷积，就是 \(c_i=\sum_{j|k=i,ppc(j)+ppc(k)=ppc(i)}a_jb_k\)。
那么扩展到二维，设 \(X_{i,j}\) 表示 \(ppc(*)=j\) 的序列，则变成了：
那么后面那个就是或卷积，用 FWT 解决，前面那个枚举一下 \(c,d\) 即可。
复杂度 \(O(n^2 2^n)\)。
最小斯坦纳树
实际上主要借鉴的是这种思路而不是这种问题。
考虑设 \(f_{i,S}\) 表示以 \(i\) 为根，连通了 \(S\) 集合内的点的树的最小花费。
那么转移有两种，一种是直接从以 \(j\) 为根，接到 \(i\) 上来，那么这时转移是 \(f_{j,S}+w(i,j)\rightarrow f_{i,S}\)。
一种是 \(i\) 的两部分子树合并而来，转移即 \(f_{i,S}+f_{i,T}\rightarrow f_{i,S|T}\)。
核心想法在于设一个根，对于一些奇奇怪怪的最小化问题可能有奇效。
线段树合并/分裂
线段树合并，对于两棵动态开点线段树进行合并，做法是先递归目前两个点的左儿子合并，再递归右儿子合并，最后 pushup，当目前递归的两个点只有不超过一个存在时，不必继续递归。
复杂度在多数时候是 \(O(m \log m)\) 的，其中 \(m\) 是线段树被删除的叶子数，\(m\log m\) 即被删除的节点总数。
可以用来优化 dp。优化的往往是树形 dp（常形如 \(f_{u,i}\) 表示 \(u\) 为根子树内信息是 \(i\) 的贡献），且满足子树内只有 \(O(size)\) 个有用的 \(f\) 位置。
当信息比较特殊时就可以线段树合并。例如 NOI2020 命运。转移形如 \(f_{x,i}=f'_{x,i}\times (sum_{v,d_x-1}+sum_{v,i})+f_{v,i}\times (sum_{x,i-1})\)。
首先 \(sum_{v,d_x}\) 是固定的，可以事先在 \(v\) 的线段树上查出来。
线段树合并时，如果合并的节点 \(x\) 为空，\(v\) 有数，那么直接将这个节点整个乘上 \(sum_{x,i}\)，如果 \(x\) 有数，\(v\) 为空，那么乘上 \(sum_{v,d_x}+sum_{v,i}\) 即可（均为打区间乘标记）注意顺带维护 \(sum_{x,i},sum_{v,d_x}+sum_{v,i}\)。然后对于两个都有值的，如果不是叶子，就按先左后右的顺序递归即可。
如果是叶子，那么直接按柿子转移即可。
线段树分裂也是类似的，你递归分裂 \(x\)，如果 \(x\) 的左子树超过 \(k\) 个，就将右儿子划归 \(y\)，递归划分左子树，否则左子树不变，递归划分右子树即可。
