多项式求逆

对于多项式 $f(x)$，求满足 $f(x)g(x)=1(\mathrm{mod}{x}^n)$ 的 $g(x)$。

其中取模的意义在于丢掉第 $n$ 项后面的系数不管。

一些 dp 题可能有形如 $f_i=\sum _j{g}_j{f}_{i-j}$ 的卷积形式转移，可以写成多项式然后除过来求逆，即可得到最终答案，这种时候也可以分治 NTT/FFT，但是复杂度多一个 $\log$。当然生成函数的系数也可以用它求。

考虑一个显然的引理：

$$f(x)g(x)=1(\mathrm{mod}{x}^n)\to f(x)g(x)=1(\mathrm{mod}{x}^m)$$

其中 $m\le n$。证明就是多项式乘法是卷积形式，高次项的去除不会影响低次项系数。

接着推(设 $g(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(\mathrm{mod}{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$ 意义下的逆元，$b(x)$ 是 $f(x)$ 在 $(\mathrm{mod}{x}^n)$ 意义下的逆元)：

$$b(x)=g(x)(\mathrm{mod}{x}^{\lceil \frac{n}{2}\rceil })$$

$$(b(x)-g(x){)}^2=0(\mathrm{mod}{x}^n)$$

$$b(x{)}^2-2b(x)g(x)+g(x{)}^2=0(\mathrm{mod}{x}^n)$$

发现这时把 $f(x)$ 乘进去，将能消掉的消掉，有

$$b(x)-2g(x)+f(x)g(x{)}^2=0(\mathrm{mod}{x}^n)$$

也即

$$b(x)=g(x)(2-f(x)g(x))$$

使用多项式乘法(NTT/FFT)即可。

复杂度 $O(n\log n)$。