zr数据结构
线段树合并：
Done.
Done.(CF600E)
首先一般维护值域线段树，复杂度是 \(O(k log k)\)，k是插入点个数。
可以用于解决每个节点用线段树维护信息，然后所有点构成树形结构，需要查询子树信息的一类问题。
这种东西很自然的能想到用线段树合并。具体方法是对于两棵树从根开始递归，若左/右儿子只有一个就赋成有的那个，若有两个就递归到他们子树过去合并，然后合并完子树的时候把两个节点的信息顺便合并一下。
有两种写法。一种是直接用原树上的节点，一种是类似主席树新开一个节点存信息，后者缺点是空间非常爆炸，前者缺点是询问后一般不能再修改，会破坏原来的信息。
线段树分裂：
Done.
(实际上整合了上下总共三个线段树XX)
将一棵（权值）线段树按小于等于k和大于k分成两棵。直接递归处理即可。可以用取地址符简化代码。
线段树二分：
直接看左区间的信息是否满足要求，是就递归过去，否就递归右区间查询，递归右区间过程中注意统计答案。
顺带提一嘴树状数组二分：从0开始，从高到低位看要不要加 \(2^i\) 即可，因为树状数组维护 \(i-lowbit(i) + 1-i\) 的信息。
显然后者的常数远远小于前者，在都实现的比较优秀时，能差出至少 5 倍。
例：P6619，只能树状数组二分或zkw线段树二分，因为原题不开O2。做法是二分两个位置，一个是火系战士恰好小于等于冰系战士能量，一种是恰好多于。这两个可以分别维护前后缀树状数组二分。
不过一般3e5左右的数据线段树二分肯定很稳，1e6开个O2只要不写丑也可以线段树二分。
DSU on TREE：
和线段树合并解决的问题类似。一般只能解决中间没有修改，只有询问子树信息的问题。当然你也可以转化成这个样子再上。
流程：
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树剖，遍历树，对于每个节点
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先递归轻儿子并计算信息
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再递归重儿子并计算信息
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将自己的信息更新
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先计算答案，然后如果自己是父亲的轻儿子，就把自己的更新撤销了
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通过这样，递归过程中就会撤销掉所有轻儿子的信息，并计算所有轻儿子的答案
复杂度证明就感性理解吧，若默认更新一次信息是 \(O(X)\) 的，则复杂度为 \(O(X n \log n )\) 的。可能因为和启发式合并很像，所以叫这么个鬼名字。
平衡树：
替罪羊树：
思想就是设定常数 \(\alpha \in (0.5,1.0)\)，满足二叉树一个节点的左右儿子占总子树的大小比例不超过 \(\alpha\)，若超过就暴力重构。容易发现选择 \(0.5\) 时即为完全二叉树，\(1.0\) 时为普通二叉搜索树。
一般的平衡树都能保持在 \(\alpha \in (0.5,0.8)\) 之内，且大多数为 \([0.6,0.7]\)。
一般选择 \(\alpha \in [0.7,0.8]\) 作为比例。\(\alpha\) 越大插入越快查询越慢，反之亦然。在询问插入同数量级时一般选取 \(\alpha=0.75\)。
重构方法就是中序遍历原树形成一个数组，然后用二分暴力建出新树。
删除直接暴力将对应节点的计数器减一，若删除过多，树中的点数不足一半，也需暴力重构。
李超树：
维护(平面直角坐标系的)线段的线段树。怎么表达这么鬼畜
用于做一类给定 \(n\) 条线，求 \(x=x_0\) 时的 \(y\) 最大值。
值域线段树上维护区间的优势线段，即在这段区间最上方的位置最多的线段。
支持修改，查询。当然首先要会求直线交点。
修改：
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区间无线段，则直接更新然后return。若在区间内无交点且新线段在上，则直接更新，否则直接return。
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区间有线段且有交点。求一下新线段和原始优势线段的交点，若交点在区间左半，那么若新线段斜率大就更新一下优势线段然后递归左区间，小则直接递归左区间。若在区间右半，则新线段斜率小就更新优势线段递归右区间，否则直接递归左区间。
查询：线段树跑到底，对于每一条线段都查询并取最值。
点分治/点分树
点分治：找到树上一个点使得以其为根，其最大子树最小，然后以它作为分治点将他删去得到若干连通块继续分治统计答案。每次断开之前可以先计算这部分各个子树互相的答案。
点分树：将上一次断开的点设为这一次断开的点的父亲构成一棵新树，此之谓点分树。它满足所有节点在新树上的深度之和是 \(O(n \log n)\)。因此可以通过暴力+其他东西统计很多奇奇怪怪的信息。
一般要套亿些数据结构支持查询。
KDT
比较简单，直接粘一段：
在查询矩形区域内的所有点的权值和时，仍然需要记录子树内每一维度上的坐标的最大值和最小值。如果当前子树对应的矩形与所求矩形没有交点，则不继续搜索其子树；如果当前子树对应的矩形完全包含在所求矩形内，返回当前子树内所有点的权值和；否则，判断当前点是否在所求矩形内，更新答案并递归在左右子树中查找答案。
还剩下segment tree beat没整完，有时间整一下
题目：
P2824：加强：数据范围5e5，多次询问。
做法：类似于ODT的做法维护区间，然后每个区间维护是单增还是单减，排序就相当于ODT的合并区间，但是可以用线段树维护一下，然后合并和分裂只需要写线段树合并和分裂即可。虽然巨大难写但是是略大常数 \(O(n \log n)\) 的。
CF765F：
Done.
题意：查询区间最小差，即 \(\min_{l\le i<j\le l}(|a_i-a_j|)\)。询问3e5，n 1e5。
于是对询问离线排序，扫描线一下，然后维护一下 \(ans_i\) 表示 \(i-r\) 的答案，每次新加入一个节点就线段树上更新一下答案。
先将线段树上每个区间存入区间内的数，然后建树时将其排序。
我们可以将原询问变成询问 \(\min_{i\in [l,r]}(ans_i)\)。
我们先对于线段树中右区间算答案，同时维护当前更新出来的最优答案。然后对于一个区间，我们先用区间中最优的两个数更新一下该区间的答案，然后如果发现最新的答案仍然大于等于目前维护的答案，那么显然不可能使答案优，直接return掉即可(因为我们转化了询问，查询的时候显然可以用右边的覆盖掉这个位置)。
于是可以直接维护了。
复杂度呢？
设有三元对 \((i,j,k)\) 满足 \(i<j<k\)，则 \(k\) 能更新答案当且仅当 \(a_k-a_i < a_j-a_k\)，那么两边同时加上 \(a_k-a_i\)，得到 \(a_k-a_i < (a_j-a_i)/2\)，即答案每次至多是之前一半。因此，我们可以轻松得出复杂度是 \(O(n \log^2 V)\) 的。
P7219：
题意：$n\times n $ 的图片，对于第 \(i\) 列有一个 \(a_i\) 高度的房子，有 \(m\) 个位置 \((x_i,y_i)\)，删除一个位置的代价是 \(C_i\)，要求最小化删掉点的价值，满足没有任何两个剩余的给定点在同一个不含楼房的小矩形中(称之为不构成星座)。即求最大保留代价。
发现两个点构成星座当且仅当 \(x_i-x_j\) 中的最大楼房高度小于 \(\min(y_i,y_j)\)。于是想到上笛卡尔树。
建出大根笛卡尔树后，我们设 \(f_{i,j}\) 表示 \(i\) 子树中高度最大的星星为 \(j\) 的最大保留代价。
那么设 \(h\) 为当前节点子树的最大楼房高度，\(maxx=\max_{i=1}^h(f_{chx,i})\)，\(maxy\) 同理，则有如下转移：
\(f_{now,h}=maxx+maxy\)，\(f_{now,i}=\max(maxx+f_{chy,i},maxy+f_{chx,i}),i\in (h,n]\)。
发现这是一个线段树合并的形式，因为要支持区间求max，区间加以及合并。具体说来，我们对当前节点的左右儿子算完答案之后，将其 \(maxx,maxy\) 求出来，然后对于两棵子树大力合并，最后对于 \(f_{now,h}\) 这个位置修改一下即可。
CF1137F：
题意：给定一棵树，每次删去编号最小的叶子节点，有两种操作，求一个节点是第几个被删的，以及将一个节点的编号设为max。
考虑将最大编号设成根，则最大编号到次大编号上所有点显然是从次大开始到最大，最后几个被删的。
那么对于将节点编号变成max，该点到原先最大点的路径上的点都是最后删的，很像LCT的access操作，而新的最大点又需要换根，这又很像LCT的makeroot操作。综合起来，就是一个makeroot操作。
于是可以维护LCT，修改操作如上。对于一棵splay，我们给他赋一个独特的col标记（大小也代表删的顺序），然后对于询问第几个被删的，需要维护一个树状数组查询所有在某棵splay之前的点数，则答案为 \(query(splay_x)+size\)，其中query表示树状数组的查询，而size表示这棵splay中在他之前删的点数。
注意修改时对于splay的更新，我们需要将旧的断开的splay减少的size从树状数组中减掉，并加到新的splay对应的col上。
最后注意维护一下每棵splay的col即可。
P3721：
维护单旋spaly。
对于add操作，因为前驱后继一定在树上连续，所以将其直接塞到深的那个的儿子即可。
对于单旋max/min，就是将那个节点取出来，将其原来的儿子挂到父亲上，将整棵树挂到他下面。这时它的子树以外的点的深度都+1。
对于删除max/min，就是上一种操作不把树挂到他下面了。这时只有他子树的深度-1。
那么维护权值线段树(key值)，然后对于修改直接做（因为BST满足的性质保证子树必然是连续区间，可以直接线段树操作），并且还要通过线段树二分找到前驱后继，然后顺带维护下原树的结构即可。当然维护结构就是模拟的活了。
