【题解】NOIP 2015 子串

淦！这题我做了三个月啊

题目描述

有两个仅包含小写英文字母的字符串 \(A\) 和 \(B\)。

现在要从字符串 \(A\) 中取出 \(k\) 个互不重叠的非空子串，然后把这 \(k\) 个子串按照其在字符串 \(A\) 中出现的顺序依次连接起来得到一个新的字符串。请问有多少种方案可以使得这个新串与字符串 \(B\) 相等？

注意：子串取出的位置不同也认为是不同的方案。

输入格式

第一行是三个正整数 \(n,m,k\)，分别表示字符串 \(A\) 的长度，字符串 \(B\) 的长度，以及问题描述中所提到的 \(k\)，每两个整数之间用一个空格隔开。

第二行包含一个长度为 \(n\) 的字符串，表示字符串 \(A\)。

第三行包含一个长度为 \(m\) 的字符串，表示字符串 \(B\)。

输出格式

一个整数，表示所求方案数。

由于答案可能很大，所以这里要求输出答案对 \(1000000007\) 取模的结果。

题解

首先有这些变量名:

\(dp[i][j][k]\) : 表示拿\(A[i]\)与\(B[j]\)配对，配成\(K\)段的方案数，假如\(A[i]\)和\(B[j]\)配不上的话就等于\(0\)。
\(sum[i][j][k]\) : 表示\(A\)从\(1\)到\(i\)，能和\(B[j]\)配成\(K\)段的方案总数(\(dp\)数组的前缀和数组)，意思就是\(sum[i][j][k] = dp[1][j][k] + dp[2][j][k]...+dp[i][j][k]\)。

那么考虑单独的\(A[i]\)和\(B[j]\)，存在两种情况:

第一种是\(A[i]\)和\(B[j]\)配上了，那么就又分出两种情况:

第一种是\(A[i - 1]\)和\(B[j - 1]\)也配上了，那么可以直接接在它们后面，也可以另起炉灶(为什么不用考虑\(A[i - 1]\)和\(B[j - 1]\)没接上的情况？因为没接上的话\(dp[i - 1][j - 1] = 0\)，无需考虑)；

第二种是\(A[i - 1]\)和\(B[j - 1]\)没配上，那我们就必须找到某个\(A[i']\)和\(B[j - 1]\)配上了，而且配成了\(k - 1\)段的地方，让\(A[i]\)与\(B[j]\)接在后面配成第\(k\)段
然后我们发现，要找到\(A[i']\)和\(B[j']\)的位置是要\(O(n)\)处理的，时间复杂度承受不住，所以我们就要用到\(sum\)数组，不用找，直接累加起前一个匹配位置\(A[i']\)的方案数就可以

第二种是配不上\(A[i]\)与\(B[j]\)配不上，那么直接赋值为\(0\)

注意:我们的\(dp\)转移方式是用\(A\)数组的每一位去尝试匹配\(B\)的某一位，只有\(B\)的上一位已经匹配过了，这一位才能继续匹配

给大佬恰代码:

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define rint register int
int n, m, k;
int dp[2][210][210], sum[2][210][210];
char a[1010], b[250];
inline int read( void ){
    int re = 0, f = 1; char ch = getchar();
    while( ch > '9' || ch < '0' ){
        if( ch == '-' ) f = -1;
        ch = getchar();
    }
    while( ch >= '0' && ch <= '9' ){
        re = re * 10 + ch - '0';
        ch = getchar();
    }
    return re * f; 
}
int main( void ){
    n = read(); m = read(); k = read();
    scanf( "%s%s", a+1, b+1 );
    dp[0][0][0] = 1;//一个都不匹配的方案数当然是0
    int now = 0, pre = 1;
    for( rint i = 1; i <= n; i++ ){
        dp[now][0][0]=sum[now][0][0] = 1;
        dp[pre][0][0]=sum[pre][0][0] = 1;
        for( rint j = 1; j <= m; j++ ){
            for( rint kk = 1; kk <= k; kk++ ){
                if( a[i] == b[j] ){
                    dp[now][j][kk] = ( sum[pre][j - 1][kk - 1] + dp[pre][j - 1][kk] ) % 1000000007;
                } 
                else dp[now][j][kk] = 0;
                sum[now][j][kk] = ( sum[pre][j][kk] + dp[now][j][kk] ) % 1000000007; //处理前缀和
            } 
        }
        swap( now, pre ); 
    }
    cout << sum[pre][m][k];
    return 0;
}