递归--过河、分金币、寄信问题（范围）

1。过河

背景：一条河里有鳄鱼，鳄鱼可以吃河里任何虚弱的生物，鳄鱼吃掉任何一个生物后都会变虚弱，鳄鱼非常聪明。当有一个人过河时，

假设：1）河里只有一条鳄鱼，那么人过河时会被鳄鱼吃掉。

          2）河里只有2条鳄鱼，那么人可以安全过河，因为如果其中一条鳄鱼吃掉人后会变虚弱，从而将会被另一条鳄鱼吃掉。鳄鱼们非常聪明，这时都不会吃人

          3）河里只有3条鳄鱼，那么人过河时会被吃掉。因为，其中任何一条鳄鱼吃掉人后，另外两条鳄鱼不敢吃掉这条鳄鱼。

问：人在什么情况下可以安全过河？

        河里的鳄鱼时双数时。

 

2.海盗分金币

 背景：有n个海盗准备分m个金币，每个海盗都有自己的编号，可以按照编号1~n的顺序提出自己分金币的计划，

　　　当自己的计划提出后只有获得超过半数以上的人支持才能被实施，否则将会被处死，海盗可以投1票给自己

　　　的方案。

假设海盗们都非常聪明：问编号为1的海盗如何能活着获得最多的金币？

　　1）当只有一个海盗时，这个海盗能获得m个金币；

　　2）当只有2个海盗时（编号为1，2），那么无论编号1提出什么方案，其都会被处死（编号2的海盗肯定不会支持编号1，因此支持人数不超过半数）

       3）当只有3个海盗时（编号为1、2、3），那么根据2）可知，编号2会无条件支持编号1提出方案，因为编号1的方案一旦被否决，编号2的方案一定会被否决。

             所以编号1提出的任何方案都一定会获得2票。因此，编号1可以独占m个金币，此时编号2、3获得的金币分别为0、0。　　　

       4）当只有4个海盗时（编号为1、2、3、4），由3）可知当编号1的方案被否决后，编号3、4只能获得0个金币，因此，只要编号1能给编号3、4各一个金币，

　　　那么编号3、4就一定会支持编号1的方案。因此编号1可以获得m-2个金币。编号2、3、4分别获得0、1、1个金币。

       5）当只有5个海盗时（编号为1、2、3、4、5），由4）可知，只要编号1能给编号3一个金币、编号4两个金币，就一定能获得3票；或给编号3一个金币、编号5两个

            金币，那么也能获得3票。此时编号1能拿到最多m-3个金币，此时金币分配方案为：m-3、0、1、2、0或m-3、0、1、0、2

       6）。。。

 

3)寄信问题

  背景：假设村里的人相互寄信，自己只能寄一次信且不能寄信给自己，而且只能收一次信。

  问：当村里有n个人时，有多少种寄信方式？

  1）当村里只有0或1个人时有0种寄信方式

   2）当村里只有2个人时，只有1种寄信方式 a->b,b->a;

   3）当村里只有3个人时，只有2种寄信方式：a->b,b->c,c->a 或 a->c,c->b,b->a;

   4)  当村里只有4个人（a、b、c、d)时，假设1）a->b,b->a,此时有 f(4-2)种方式 ；2）a->b,b不传给a，此时可以将 （a->b)看作一个人（可以寄信和收信），这时有f(4-1)种方式

       3）因为a寄信有3个选择（寄给b、c或d），因此总的寄信方式有 （4-1）*（f(4-1)+f(4-2));

   。。。

  n）当村里有n个人时，f(n) = (n-1）*（f(n-1)+f(n-2));