三元环相关

对于一个简单无向图，直接暴力枚举做是 $O(nm)$ 的，假设图上的每个点的度为 $de{g}_i$，考虑给边重定向，如果连接的两个边度不同，那么大的连小的，如果度相同，那么编号小的连达到，此时考虑暴力做，复杂度不超过 $O(m\sqrt{m})$，考虑证明：

1. 如果 $de{g}_i\le \sqrt{m}$，那么显然新图上出度也不会超过 $\sqrt{m}$。
2. 如果 $de{g}_i>sqrtm$，那么新图上出边所到的点，入度一定 $>\sqrt{m}$，所以出度也不会超过 $\sqrt{m}$。

注意到总的复杂度即为每条边的重点的出度之和，显然为 $\sqrt{m}$。

应用：证明了无向图的三元环数量为 $m\sqrt{m}$，对于某些三元题可以注意边数来处理问题。

例题：P4619。