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注意到，如果最后一个保留的数为 $i$，那么事实上可以取得数列一定是一个以 $i$ 结尾的上升子序列和下降子序列交叉拼在一起而成，所以树状数组即可。

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人类智慧可以发现操作次数不会太多，暴力即可。

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本身并不难，转化难。

设 $f(S)$ 表示子集 $S$ 构成的图连通块数量，注意到要求的就是 $\sum [f(S)=1]$，这个与 ${\displaystyle \frac{1}{2}}\sum f(S)mod4$ 等价。

然后 $f(S)$ 又等价于用两种颜色给图染色，但是需要满足同一连通块的颜色相同，然后 $\sum _{f(S)}$ 等价于用三种颜色给图染色，有一种多余的颜色表示不在图里的点，那么由于 $|u-v|\le 13$，所以可以直接 DP。

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注意到第 $i$ 个蛋糕可能需要等待一会才能被吃，所以考虑第 $i$ 个蛋糕在 $j$ 时刻的位置。

考虑计算出延长的时间，不难发现每个蛋糕之多被延长一次，延长的时间为 $\underset{j=1}{\overset{i}{max}}{a}_j-a_i$。

于是就可以计算出每个蛋糕每一时刻的位置，然后做完了。