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考虑次小生成树的大小，显然如果加了一条边后再删一条边，删的边权值一定要严格小于加的边，所以就求出所有加的边和删的边权值相同可以加的边数。

为何不考虑加的边权值小于删的边？如果存在这种边，显然最小生成树不优。
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答案显然能取到下限，因为有 $t_j<a_{s_j}$。
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设 $f_{i,j}$ 表示前 $i$ 个数，后缀极长同色串起点为 $j$ 的方案数。

考虑题目给的限制，对于区间 $[l,r]$，如果 $x=2$ 那么以 $r$ 结尾的串中，极长同色串起点必定 $>l$；如果 $x=1$，那么 $[l+1,r]$ 的所有点不能新开一个极长同色串。

于是就做完了
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典题。

显然二分图匹配后，选择一侧作为 $2$ 的集合，考虑到有多个连通分量，显然 DP。

注意二分图匹配失败的话一定无解。

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数学题。

考虑最大的数是 $x$。

如果只选一个数，显然为 $x$。

如果选两个数，设为 $a,b$，若 $a,b$ 都不为 $x$ 因子，那么把较小的替换为 $x$ 一定不劣，其他情况同理，可以证明一定要选择 $x$，然后再选择非 $x$ 因子的最大数。

如果选三个数，同选两个的，但是注意 ${\displaystyle \frac{a}{2}}+{\displaystyle \frac{a}{3}}+{\displaystyle \frac{a}{5}}>a$，这是唯一的例外，直接特判即可。
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单调队列优化 DP 板子，不写了。
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分讨题。

令 $n\le m$，显然 $n\le \sqrt{2\times {10}^5}$。

注意到只会有以下 $5$ 种情况：

• 取 $4$ 行。
• 取 $3$ 行 $1$ 列。
• 取 $2$ 行 $2$ 列。
• 取 $1$ 行 $3$ 列。
• 取 $4$ 列。

除了第 $3$ 条，显然可以暴力枚举一行/列。

第三条考虑枚举哪一行，然后暴力判断，复杂度 $O(n^{2}m)$。

为何正确？$n\times m\le 5\times {10}^5$。
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直接做显然不好做，但是注意到只要有一个取到 min 即可，考虑二分答案。

随后考虑 check，假设只考虑奇数位，那么匹配到奇数位要满足 $a_i\le x$，偶数位直接匹配。
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考虑 DP，设 $f_{i,j,k}$ 表示前 $i$ 个瓶子，选 $k$ 个瓶子满足总容量为 $j$ 的最大答案，转移很简单，答案就是 $an{s}_j=\underset{i,j}{max}\{min\{f_{n,i,j}+{\displaystyle \frac{(sumb-f_{n,i,j})}{2}}\}\}$