P5020 [NOIP2018 提高组] 货币系统

[NOIP2018 提高组] 货币系统

题目背景

NOIP2018 提高组 D1T2

题目描述

在网友的国度中共有 $n$ 种不同面额的货币，第 $i$ 种货币的面额为 $a[i]$，你可以假设每一种货币都有无穷多张。为了方便，我们把货币种数为 $n$、面额数组为 $a[1..n]$ 的货币系统记作 $(n,a)$。

在一个完善的货币系统中，每一个非负整数的金额 $x$ 都应该可以被表示出，即对每一个非负整数 $x$，都存在 $n$ 个非负整数 $t[i]$ 满足 $a[i]\times t[i]$ 的和为 $x$。然而， 在网友的国度中，货币系统可能是不完善的，即可能存在金额 $x$ 不能被该货币系统表示出。例如在货币系统 $n=3$, $a=[2,5,9]$ 中，金额 $1,3$ 就无法被表示出来。

两个货币系统 $(n,a)$ 和 $(m,b)$ 是等价的，当且仅当对于任意非负整数 $x$，它要么均可以被两个货币系统表出，要么不能被其中任何一个表出。

现在网友们打算简化一下货币系统。他们希望找到一个货币系统 $(m,b)$，满足 $(m,b)$ 与原来的货币系统 $(n,a)$ 等价，且 $m$ 尽可能的小。他们希望你来协助完成这个艰巨的任务：找到最小的 $m$。

输入格式

输入文件的第一行包含一个整数 $T$，表示数据的组数。

接下来按照如下格式分别给出 $T$ 组数据。 每组数据的第一行包含一个正整数 $n$。接下来一行包含 $n$ 个由空格隔开的正整数 $a[i]$。

输出格式

输出文件共有 $T$ 行，对于每组数据，输出一行一个正整数，表示所有与 $(n,a)$ 等价的货币系统 $(m,b)$ 中，最小的 $m$。

样例 #1

样例输入 #1

2 
4 
3 19 10 6 
5 
11 29 13 19 17

样例输出 #1

2   
5

提示

在第一组数据中，货币系统 $(2,[3,10])$ 和给出的货币系统 $(n,a)$ 等价，并可以验证不存在 $m<2$ 的等价的货币系统，因此答案为 $2$。 在第二组数据中，可以验证不存在 $m<n$ 的等价的货币系统，因此答案为 $5$。

【数据范围与约定】

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，满足 $1\le T\le 20,n,a[i]\ge 1$。

思路：

不难发现，这题是完全背包，我们只需要去掉所有$a$数组中的能用$a$数组里的数凑成的数，最后遍历一遍，答案就是$a$数组中所有无法被$a$数组里的数凑成的数的个数。

代码：

#include <iostream>
#include <cstring>
using namespace std;
const int N = 110,M = 25010,INF = 0x3f3f3f3f;
int n,m;
int a[N];
int dp[M];
int main () {
	int T;
	scanf ("%d",&T);
	while (T--) {
		m = 0;
		memset (dp,-0x3f,sizeof (dp));
		dp[0] = 0;
		scanf ("%d",&n);
		for (int i = 1;i <= n;i++) {
			scanf ("%d",&a[i]);
			m = max (m,a[i]);
		}
		for (int i = 1;i <= n;i++) {
			for (int j = a[i];j <= m;j++) {
				dp[j] = max (dp[j],dp[j-a[i]]+1);
			}
		}
		int ans = 0;
		for (int i = 1;i <= n;i++) {
			if (dp[a[i]] == 1) ans++;
		}
		printf ("%d\n",ans);
	}
	return 0;
}