台大林轩田老师《机器学习基石》课程笔记4：How Can Machines Learn Better?

注：笔记大纲请移步这里。

4 How Can Machines Learn Better?

4.1 Hazard of Overfitting

4.1.1 What is Overfitting?

过拟合定义：学习时选择的模型复杂度过高，导致这一模型的训练误差很小，但预测误差却很大的现象。(自行脑补\(E_{in}、E_{out}\)随模型复杂度变化的学习曲线。)

过拟合原因：VC Dimension太大、Noise、数据量N不够。即VC Dimension、Noise、N这三个因素是影响过拟合现象的关键。

原因1：VC Dimension太大；

\(E_{in}、E_{out}\)随模型复杂度变化的学习曲线。

原因2：N不足；(思考：\(d_{VC}\)过大导致的过拟合，本质上也是数据不足？)

课件实验中，目标函数f为10次和50次多项式，分别采用2次和10次的模型去学习，结果表明10次的模型均发生了过拟合，与直觉相悖。
原因在于，在learning curve中，\(E_{in}\)和\(E_{out}\)可表示如下。数据量N不大时对应于下图中的灰色区域。虽然H(10)的期望误差更小，但在N不足时，\(E_{out}\)仍然会很大。(思考：1.每个复杂度都对应一个合适的N范围，若N不足，即便g和f的复杂度一样，也会导致过拟合。另外，当复杂度较高时，会发生维度灾难。2.是否可根据现有的N反推出最大的\(d_{VC}\))

\[E_{in}=noise level\ast (1-\frac{d+1}N) \]

\[E_{out}=noise level\ast (1+\frac{d+1}N) \]

原因3：Noise；

Stochastic Noise：服从高斯分布的噪声；
Deterministic Noise：由于目标函数f的\(d_{VC}\)高于模型的\(d_{VC}\)，导致再好的hypothesis都会跟它有一些差距，我们把这种差距称之为deterministic noise。deterministic noise与stochastic noise不同，但是效果一样。其实deterministic noise类似于一个伪随机数发生器，它不会产生真正的随机数，而只产生伪随机数。

4.1.2 Dealing with Overfitting

start from simple model
data cleaning/pruning：对训练数据集里label明显错误的样本进行修正（data cleaning），或者对错误的样本看成是noise，进行剔除（data pruning）。data cleaning/pruning关键在于如何准确寻找label错误的点或者是noise的点，而且如果这些点相比训练样本N很小的话，这种处理效果不太明显。
data hinting：针对N不够大的情况，如果没有办法获得更多的训练集，那么data hinting就可以对已知的样本进行简单的处理、变换，从而获得更多的样本。举个例子，数字分类问题，可以对已知的数字图片进行轻微的平移或者旋转，从而让N丰富起来，达到扩大训练集的目的。这种额外获得的例子称之为virtual examples。但是要注意一点的就是，新获取的virtual examples可能不再是iid某个distribution。所以新构建的virtual examples要尽量合理，且是独立同分布的。
regularization
validataion

注：Ng课程中提到，利用训练测试误差随N变化的学习曲线来判断是欠拟合还是过拟合，从而决定是否要增加数据量来减轻过拟合。

4.2 Regularization

L2正则化两种理解方式：

课件中通过Lagrange multiplier，解决有条件的最佳化问题；
Ng视频课中理解方式(代价函数修正)。

带正则化项的两种解法(见Ng课件)：梯度下降法；正规方程法。

注意：梯度下降法中正则化项又称为weight-decay regularization；带正则化的正规方程法又称为ridge regression(统计学上)，可以看成是linear regression的进阶版。

根据VC理论，加上正则化项之后，模型的VC维度(\(d_{EFF}(H,A)\))小于正常模型的VC维度。因为受regularized的影响，限定了w只取一小部分。这些与实际情况是相符的，比如对多项式拟合模型，当\(\lambda=0\)，所有的w都给予考虑，相应的\(d_{VC}\)很大，容易发生过拟合。当\(\lambda > 0\)且越来越大时，很多w将被舍弃，\(d_{EFF}(H,A)\)减小，拟合曲线越来越平滑，容易发生欠拟合。

对于通用的Regularizers，即\(\Omega(w)\)，一般我们会朝着目标函数的方向进行选取。有三种方式：target-dependent；plausible；friendly。(与之前的error measure选取原则类似。)比如Noise越大，\(\lambda\)通常越大。

4.3 Validation

直接使用\(E_{in}\)、\(E_{test}\)都是不太好的.

4.3.1 Cross Validation

机器学习模型建立的过程中有许多选择，比如算法的选择、学习率、正则化参数等，会组合形成多个模型。模型选择通常可以按照以下流程：

1.从D中随机抽取一部分数据作为验证集(保证iid；通常为D的20%；划分验证集，通常并不会增加整体时间复杂度，反而会减少，因为\(D_{train}\)减少了)；
2.将各个模型(假设空间)在训练集上跑一遍，挑出各个模型的\(g^-_m\)(因为D被挖掉一块，所以上标用-)；
3.用验证集找出最小的\(E_{val}\)，对应的模型(假设空间)序号记为\(m^*\)(思考：这两步主要是为了找出最合适的\(d_{VC}\)，\(E_{val}\)最小的那个模型\(E_{out}\)与\(E_{in}\)最接近，即对应的模型泛化性能最好)；
4.将找到的这个模型(第\(m^*\)个)再重新在整个D上跑一遍，找到\(g_{m^*}\)(注意并非直接采用\(E_{val}\)最小的\(g^-_m\)，其效果不如这种方法。该案例见课件。)。

4.3.2 Leave-One-Out Cross Validation

考虑一个极端的例子，k=1，即验证集大小为1，即每次只用一组数据对\(g_m\)进行验证。这样做的优点是\(g_m^-\approx g_m\)，但是\(E_{val}\)与\(E_{out}\)可能相差很大。为了避免\(E_{val}\)与\(E_{out}\)相差很大，每次从D中取一组作为验证集，直到所有样本都作过验证集，共计算N次，最后对验证误差求平均，得到\(E_{loocv}(H,A)\)，这种方法称之为留一法交叉验证，求平均的目的是为了让\(E_{loocv}(H,A)\)尽可能地接近\(E_{out}(g)\)。

该方法的两个问题：

计算量，假设N=1000，那么就需要计算1000次的\(E_{loocv}\)，再计算其平均值。当N很大的时候，计算量是巨大的，很耗费时间。
稳定性，例如对于二分类问题，取值只有0和1两种，预测本身存在不稳定的因素，那么对所有的\(E_{loocv}\)计算平均值可能会带来很大的数值跳动，稳定性不好。所以，这两个因素决定了Leave-One-Out方法在实际中并不常用。

4.3.3 K-fold Cross Validation

针对Leave-One-Out的缺点，对其作出改进。Leave-One-Out是将N个数据分成N分，那么改进措施是将N个数据分成K份（常常K=10），计算过程与Leave-One-Out相似。这样可以减少总的计算量，又能进行交叉验证。实际中经常用此法，平均预测误差即可作为该模型的性能指标。

4.4 Three Learning Principles

奥卡姆剃刀定律（Occam’s Razor）

含义：“如无必要，勿增实体”。反映到机器学习领域中，指的是在所有可能选择的模型中，我们应该选择能够很好地解释已知数据并且十分简单的模型。
简单的模型一方面指的是简单的hypothesis，即模型使用的特征比较少，例如多项式阶数比较少。另一方面指的是模型H包含的hypothesis数目有限，不会太多。实际上，hypothesis特征数目越少，H中hypothesis数目也就越少。
从哲学的角度：机器学习的目的是“找规律”；而对于简单的模型而言，其成长函数\(m_H(N)\)较小，故对一堆混乱的数据，能找到最优解的概率\(\frac{m_H(N)}{2^N}\)也很小。反过来说，如果简单的模型能找到这堆数据的最优解，则说明这堆数据肯定有规律。但是对于复杂模型则不然，复杂模型的表达能力很强，即便一堆数据没有规律，它也能找到最小的\(E_{in}\)。故即便复杂模型的\(E_{in}\)很小，也没法说明是这堆数据有规律，还是这个模型本身表达能力强的原因。

避免采样偏差(Sampling Bias)，保证iid；

案例1：杜鲁门总统大选中，电话民意调查；(不合理抽样。此外银行贷款审批案例也有偏差的风险。)
案例2：Netflix推荐大赛中，林老师的将验证集准确率提高了13%，但最终比赛时却又少了7个百分点；(数据的分布是随时间序列而有一定变动的，测试集是按照最新的用户数据)
- 经验：训练和验证都要尽量匹配测试集场景。比如此处，可以增加近期数据的权重，验证集采用最新数据等等。

避免偷窥数据(Data snooping)；

案例1：通过可视化，观察数据后人为定义模型(带入了人的主观想法)；
案例2：将测试集数据混入训练集中一同训练；
案例3：一系列的paper针对同一个数据集D不断改进，相当于后面的paper偷窥了前面的模型；
解决方法：第一个方法是“看不见”数据。就是说当我们在选择模型的时候，尽量用我们的经验和知识来做判断选择，而不是通过数据来选择。先选模型，再看数据。第二个方法是平衡偷窥数据和验证的关系。