前缀函数和KMP算法

前缀函数（$\pi$函数）

定义

border ：若字符串 $s$ 存在某个真前缀和某个真后缀相同，则这个真前缀或真后缀称为 $s$ 的一个 border。\

前缀函数 ：前缀函数 $\pi [i]$ 的值为字符串 $s$ 的前缀 $s[0,i]$ 的最长 border 的长度。特别地， $\pi [0]=0$。

实现

vector<int> prefix_function(string s) {
    int n = (int)s.length();
    vector<int> pi;
    for (int i = 1; i < n; i++) {
        int j = pi[i - 1];
        while (j && s[i] != s[j]) j = pi[j - 1];
        if (s[i] == s[j]) j++;
        pi[i] = j;
    }
    return pi;
}

前缀函数的应用

一 、模式匹配（KMP算法）

给定一个文本串 $t$ 和一个模式串 $s$ ，找出 $s$ 在 $t$ 中出现的所有位置。

将模式串与文本串拼接，在中间加一个分隔符，变为字符串 $s+\mathrm{\#}+t$ ，然后对这个字符串求出前缀函数，每个前缀函数等于 $|s|$ 的位置即为模式串出现的位置的末尾。

二 、字符串的周期

对字符串 $s$ ，若存在 $0<p<|s|$ ，使得 $s[i]=s[i+p]$ 对所有 $i\in [0,|s|-p-1]$ 成立，则称 $p$ 为字符串 $s$ 的周期。

若 $s$ 有长度为 $r$ 的 border ，则 $|s|-r$ 为 $s$ 的周期。

可以借助前缀函数得到 $s$ 的所有 border ，即 $\pi [n-1],\pi [\pi [n-1]-1],...$ 以此类推。于是可以得到 $s$ 的所有周期，其中 $s$ 的最小周期为 $n-\pi [n-1]$ 。

三 、统计每个前缀的出现次数

考虑位置 $i$ 的前缀函数值 $\pi [i]$ 。根据定义，其意味着字符串 $s$ 的一个长度为 $\pi [i]$ 的前缀在位置 $i$ 出现并以 $i$ 为右端点，同时不存在一个更长的前缀满足前述定义。与此同时，更短的前缀可能以该位置为右端点。

所以我们可以通过以下方法计算答案 。

for (int i = 0; i < n; i++) ans[pi[i]]++;
for (int i = n - 1; i > 0; i--) ans[pi[i-1]] += ans[i];
for (int i = 0; i < n; i++) ans[i]++;

四 、一个字符串中本质不同子串的数目

考虑向一个字符串 $s$ 末尾添加一个字符 $c$ 后出现的新的字串数目。

构造字符串 $t=s+c$ ，并将其反转成为 $t^{\prime }$ ，问题变为求 $t^{\prime }$ 有多少前缀未在其他地方出现过。如果计算出 $t^{\prime }$ 的前缀函数最大值 ${\pi }_{max}$ ，那么长度大于 ${\pi }_{max}$ 的前缀都没有出现过，故添加了一个新字符后新出现的子串数目为 $|s|+1-{\pi }_{max}$ 。

五 、字符串压缩（字符串的整周期）

给定一个长度为 $n$ 的字符串 $s$ ，我们希望找到其最短的“压缩”表示，也即我们希望寻找一个最短的字符串 $t$ ，使得 $s$ 可以被 $t$ 的一份或多份拷贝的拼接表示。

计算 $s$ 的前缀函数。我们定义值 $k=n-\pi [n-1]$ 。如果 $k$ 整除 $n$ ，那么前缀 $s[0,k-1]$ 就是答案，否则可以证明不存在一个有效的压缩，故答案为 $s$ 。

六 、根据前缀函数构建一个自动机

重新考虑计算前缀函数的问题，我们先前使用构造字符串 $s+\mathrm{\#}+t$ 的方法。但如果字符串 $t$ 是某种巨大的字符串，我们只知道它的构造方式，无法将它显式地构造出来，那么如何计算？

例如计算字符串 $s$ 在 $k$ 阶 Gray 字符串中出现的次数，Gray 字符串的定义为：

$$g_1=a$$

$$g_2=g_1+b+g_1$$

$$g_3=g_2+c+g_2$$

$$......$$

$$g_k=g_{k-1}+{\mathrm{\Sigma }}_k+g_{k-1}$$

第 $k$ 个字符串地长度达到了 $2^k$ 的数量级，无法通过之前的方法计算。

先计算 $s+\mathrm{\#}$ 的前缀函数，因为 $\mathrm{\#}$ 不属于字符集，所以之后的前缀函数值一定不超过 $|s|$ 。我们把前缀函数值当作状态，字符当作转移的条件，构造出自动机。

自动机部分代码

void compute_automaton(string s, vector<vector<int>> &aut) {
    s += '#';
    int n = (int)s.size();
    vector<int> pi = prefix_function(s);
    aut.assign(n, vector<int>(26));
    for (int i = 0; i < n; i++) {
        for (int c = 0; c < 26; c++) {
            if (i > 0 && 'a' + c != s[i]) aut[i][c] = aut[pi[i - 1]][c];
            else aut[i][c] = i + ('a' + c == s[i]);
        }
    }
}

我们实际要计算的是有多少个位置的前缀函数值等于 $|s|$ ，故可以使用 dp 。

设 $G[i][j]$ 表示，从状态 $j$ 开始处理完第 $i$ 个字符串后所去到的自动机的状态。同时设 $K[i][j]$ 表示从状态 $j$ 开始处理完第 $i$ 个字符串后，$s$ 出现的次数。这两个数组不难计算。

初始条件

$$G[0][j]=j$$

$$K[0][j]=0$$

转移

$$mid=aut[G[i-1][j]][i]$$

$$G[i][j]=G[i-1][mid]$$

$$K[i][j]=K[i-1][j]+[mid==|s|]+K[i-1][mid]$$

最终答案就是 $K[𝑘][0]$ 。