P3514 [POI2011] LIZ-Lollipop 题解

方法一：

我们发现找到一个为 $x$ 的区间是困难的。

但 $\le x$ 是 $=x$ 的必要条件，于是考虑放缩。

找到一个 $\le x$ 的区间是平凡的，可以直接二分。

假设左端点为 $1$。

若二分出为 $x$，即答案。

若二分出为 $x-1$，如何构造出 $x$ 还是不容易，于是考虑何时无解。

然后考虑更新 $l$，不可能直接计算，考虑递推/构成。

由题得未选到的第一个数是 $2$，那么分类讨论。

如果第一个位置为 $1$，这时可以直接去 $1$ 添 $2$。

否则，我们发现这样的区间可以直接搬运，即 $l,r$ 同时加 $1$。

我们发现第二个过程其实可以优化，预处理随便跳即可。

这样就是 $O(m \log n)$ 的，可以通过。

预处理代替二分即可 $O(n)$。

方法二：

注意到 $\omega$ 很小，我们可以从此入手讨论。

• 考虑初始时全为一的情况。

这样子区间集合等价于从一开始的区间集合。很好做，直接判断大小。

考虑加一个 $2$，发现不是很好做。（有佬会做请教教我）

但是我们可以考虑另一种简单情形：（这步挺神仙的，不是很常见）

• 考虑初始时全为二的情况。

显然发现奇数无解，偶数判断大小。

• 考虑加入一个 $1$，分讨一下：

若不经过 $1$，则同原来一样。

若经过 $1$，我们发现奇偶性改变了，这样就可以产生与原来不交的一个集合的答案。且依然是从一开始的。

然而构造不太好整了，于是仍然考虑放缩，但只是考虑判断无解，即分析答案集合。

• 考虑加入两个 $1$，分讨一下：

同样的考虑奇偶性与分讨：

考虑奇数与前者无异，取 $\max$ 即可，而偶数就会新产生结果，单独分析答案集合。

我们希望它可以满足前者的一些性质，此题中为连续性。

手摸一下似乎是满足的（省略）。

容易证明（手摸几组后就很显然了）：

我们发现，左端点在第一个 $1$ 左边，右端点在第二个 $1$ 右边的区间产生的数的集合，与左端点在第一个 $1$ 右边，右端点在第二个 $1$ 左边的区间产生的数的集合，刚好可以拼成一个从 $2$ 开始的连续区间。

所以这样偶数的区间还是从最小值到最大值。

• 由此我们可以猜想：

我们只需求出奇偶最大值即可判断无解。

这仍然不是很好求的，至少不能用之前的思路了。

我们考虑极限，若全选，必然为奇偶最大值中的一个。

考虑借此递推另一者，由于只有 $1$ 能改变奇偶，所以我们找到最靠前的与最靠后的，减去前/后缀即可。

最后考虑原问题，根据前面的推导，显然是分奇偶递推。

考虑从 $x$ 递推至 $x-2$ 是的情况：（注意这个递推其实也是一种 $\text{dp}$，所以要考虑后效性）

首先对于任何一个 $x$ 递推至 $x-2$ 是否有后效性呢？（即是否所有 $x-2$ 在构造同奇偶答案上等价）

考虑前面的结论，答案是连续的，所以对于任意一个 $x-2$ 均有方案。

然后考虑转移：

两边至少有一个 $2$，我们考虑删去任意一个即可。

两边至少没有 $2$，必然全为 $1$，我们考虑全部删去即可。

于是我们对整个序列的奇偶最大值的区间做一遍，我们就用预处理做完了这道题。