P3980 [NOI2008] 志愿者招募

一、题目

二、思路

可以看出，这是一个线性规划问题。

由于它是最小化型线性规划，不是标准形式的。因此，可以利用线性规划对偶定理将其转化为一个最大化型线性规划：

对偶问题的标准形式：

于是写个最单纯的单纯形法就可以了 (连 init() 都不用写~)。

具体地过程，就是寻找大于 0 的非基 (自由) 变量转化成基变量，然后转轴 (注意代码实现时和 Gauss 消元的区别)，最后得到的就是最小花费。

三、代码

#include <bits/stdc++.h>
#define N 1034
#define E 10034
using namespace std;

const double eps = 1e-8;

int n, e, l, r;
int i, j;

int id[N + E];
double m[E][N], b[E], *c = m[0], ans[N + E];
// 指针 *c，指向数组 m 的第一行

// 定义函数 pivot，用于执行单纯性算法的主要操作：进行主元素调整。
void pivot(int r, int c)
// 函数 pivot 的输入参数为 r 和 c，分别表示要进行主元素调整的行和列。
{
    int i, j;
    double coe = 1.0 / m[r][c];
    swap(id[n + r], id[c]);
    // 交换 id[n + r] 和 id[c]，表示 c 成为了基变量，而 n + r 成为了非基变量。
    m[r][c] = 1.0;
    // 将主元素 m[r][c] 设为 1。
    for (j = 1; j <= n; ++j)
        m[r][j] *= coe; // 将第 r 行的所有元素都除以主元素 m[r][c]。
    b[r] *= coe;        // 将第 r 行的常数项 b[r] 也除以主元素 m[r][c]。
    for (i = 0; i <= e; ++i)
    { // 遍历所有行，进行主元素调整。
        if (i == r)
            continue; // 如果当前行已经是主元素所在的行，则跳过。
        coe = m[i][c];
        m[i][c] = 0.0;
        for (j = 1; j <= n; ++j)
            m[i][j] -= coe * m[r][j];
        b[i] -= coe * b[r];
        // 将当前行的常数项减去主元素所在行的常数项乘以系数。
    }
}

bool simplex()
// 定义函数 simplex，用于执行单纯性算法的主要流程。
{
    int i, j, basic, free;
    double G;
    for (;;)
    {
        basic = free = 0;
        G = INFINITY;
        for (i = 1; i <= n; ++i) // free (nonbasic) variable
            if (c[i] > c[free])
                free = i;
        if (!free)
            return true;
        for (j = 1; j <= e; ++j) // basic variable
            if (m[j][free] > eps && b[j] < G * m[j][free])
            {
                G = b[j] / m[j][free];
                basic = j;
            }
        if (!basic)
            return puts("Unbounded"), false;
        pivot(basic, free);
    }
}
// 函数 simplex 的作用是不断进行主元素调整，
// 直到找到最优解或者发现问题无解。在每次迭代中，
// 首先找到最大的非基变量 free，然后遍历所有基变量，
// 找到最小的比率 G 和对应的基变量 basic，进行主元素调整。
// 如果找不到基变量，则问题无解；如果不存在非基变量，则找到最优解，单纯性算法结束。
// 最后，主函数 main 的作用是输入数据，调用函数 simplex，输出最优解。

int main()
{
    scanf("%d%d", &n, &e);
    for (j = 1; j <= n; ++j)
        scanf("%lf", c + j);
    for (i = 1; i <= e; ++i)
    {
        scanf("%d%d%lf", &l, &r, b + i);
        for (j = l; j <= r; ++j)
            m[i][j] = 1.0;
    }
    if (simplex())
        printf("%.lf\n", -*b);
    system("pause");
    return 0;
}