1971. 寻找图中是否存在路径

一、题目

有一个具有 n 个顶点的 双向 图，其中每个顶点标记从 0 到 n - 1（包含 0 和 n - 1）。图中的边用一个二维整数数组 edges 表示，其中 edges[i] = [ui, vi] 表示顶点 ui 和顶点 vi 之间的双向边。 每个顶点对由 最多一条 边连接，并且没有顶点存在与自身相连的边。

请你确定是否存在从顶点 source 开始，到顶点 destination 结束的 有效路径 。

给你数组 edges 和整数 n、source 和 destination，如果从 source 到 destination 存在 有效路径 ，则返回 true，否则返回 false 。

二、思路

并查集初始化时有n个不同的集合，每个集合只包含一个顶点。初始化之后遍历每条边，由于图中的每条边均为双向边，因此将同一条边连接的两个顶点所在的集合做合并。

三、代码

class Solution {
    public boolean validPath(int n, int[][] edges, int source, int destination) {
        if (source == destination) {
            return true;
        }
        UnionFind uf = new UnionFind(n);
        for (int[] edge : edges) {
            uf.uni(edge[0], edge[1]);
        }
        return uf.connect(source, destination);
    }
}

class UnionFind {
    private int[] parent;
    private int[] rank;

    public UnionFind(int n) {
        parent = new int[n];
        rank = new int[n];
        for (int i = 0; i < n; i++) {
            parent[i] = i;
        }
    }

    public void uni(int x, int y) {
        int rootx = find(x);
        int rooty = find(y);
        if (rootx != rooty) {
            if (rank[rootx] > rank[rooty]) {
                parent[rooty] = rootx;
            } else if (rank[rootx] < rank[rooty]) {
                parent[rootx] = rooty;
            } else {
                parent[rooty] = rootx;
                rank[rootx]++;
            }
        }
    }

    public int find(int x) {
        if (parent[x] != x) {
            parent[x] = find(parent[x]);
        }
        return parent[x];
    }

    public boolean connect(int x, int y) {
        return find(x) == find(y);
    }
}

两个代表元素合并成一个新的代表元素。rank的作用就是用来决定哪个代表元素作为新的父节点，以减小树的高度。

具体来说，rank是一个数组，表示每个代表元素所在树的高度。在合并两个集合时，我们将rank较小的树合并到rank较大的树上，这样可以保证树的高度不会增加太多，从而减小查找操作的时间复杂度。如果两个树的rank相同，我们可以将其中一个树的rank加1，表示将它合并到另一个树上后树的高度增加了1。

四、分析

时间复杂度：O(n+m×α(m))，其中 n 是图中的顶点数，m 是图中边的数目，α是反阿克曼函数。并查集的初始化需要 O(n) 的时间，然后遍历 m 条边并执行 m 次合并操作，最后对 source 和 destination 执行一次查询操作，查询与合并的单次操作时间复杂度是 O(α(m))，因此合并与查询的时间复杂度是 O(m×α(m))，总时间复杂度是 O(n+m×α(m))。

空间复杂度：O(n)，其中 n 是图中的顶点数。并查集需要 O(n) 的空间。