300. 最长递增子序列

一、题目

给你一个整数数组 nums ，找到其中最长严格递增子序列的长度。

子序列 是由数组派生而来的序列，删除（或不删除）数组中的元素而不改变其余元素的顺序。例如，[3,6,2,7] 是数组 [0,3,1,6,2,2,7] 的子序列。

二、思路

dp[i]: 所有长度为i+1的递增子序列中, 最小的那个序列尾数. 由定义知dp数组必然是一个递增数组 依次判断每个数num将其插入dp数组相应的位置: 1. num > dp[-1], ，执行插入尾部操作，表示num比所有已知递增序列的尾数都大, 将num添加入dp 数组尾部 2. num <= dp [-1],则执行替换操作，【1，2，4，5】 现在来了一个3，那么替换为【1，2，3，5】，而不是【1，3， 4，5】

三、代码

class Solution:
    def lengthOfLIS(self, nums):
        n = len(nums)
        if n <= 1: # 不要忘了空数组
            return n
        stack = [nums[0]]  # 初始时候，只有一个元素，那么它肯定是递增的，所以加入
        for i in range(1,n):
            if nums[i] > stack[-1]:
                stack.append(nums[i])
            else:
                # 不会动递增序列的个数，但是会调整递增序列的值，这儿也可以用二分查找
                for j in range(len(stack)):
                    # dp=【1，2，4】 ,nums[i]=3
                    if nums[i] > stack[j]:
                        continue
                    else:
                        stack[j] = nums[i] # 将数组中的值替换
                        break
        return len(stack) # 返回递增序列的长度，就是最长递增子序列

四、分析

复杂度分析

• 时间复杂度：O(n²)，其中 n 为数组 nums 的长度。动态规划的状态数为 n，计算状态 dp[i] 时，需要 O(n) 的时间遍历 dp[0…i−1] 的所有状态，所以总时间复杂度为 O(n²)。

• 空间复杂度：O(n)，需要额外使用长度为 n 的 dp 数组。