最小生成树（Kruskal算法和Prim算法）

关于图的几个概念定义：

• 连通图：在无向图中，若任意两个顶点v_i与v_j都有路径相通，则称该无向图为连通图。
• 强连通图：在有向图中，若任意两个顶点都有路径相通，则称该有向图为强连通图。
• 连通网：在连通图中，若图的边具有一定的意义，每一条边都对应着一个数，称为权；权代表着连接连个顶点的代价，称这种连通图叫做连通网。
• 生成树：一个连通图的生成树是指一个连通子图，它含有图中全部n个顶点，但只有足以构成一棵树的n-1条边。一颗有n个顶点的生成树有且仅有n-1条边，如果生成树中再添加一条边，则必定成环。
• 最小生成树：在连通网的所有生成树中，所有边的代价和最小的生成树，称为最小生成树。

（一）Kruskal算法

1.介绍

此算法可以称为“加边法”，初始最小生成树边数为0，每迭代一次就选择一条满足条件的最小代价边，加入到最小生成树的边集合里。

1. 初始化并查集。father[x]=x，
2. tot=0
3. 将所有边用快排从小到大排序。
4. 计数器 k=0;
5. for (i=1; i<=M; i++)      //循环所有已从小到大排序的边
   • if 这是一条u,v不属于同一集合的边(u,v)(因为已经排序，所以必为最小)，
     •     　①合并u,v所在的集合，相当于把边(u,v)加入最小生成树。
     • 　    ②tot=tot+W(u,v)
     •         ③k++
     •         ④如果k=n-1,说明最小生成树已经生成，则break;
6. 结束，tot即为最小生成树的总权值之和。

2.算法分析

假若以“堆”结构来存放边进行堆排序，对于包含 e 条边的网，上述算法排序的时间复杂度为 O(e㏒₂e)。只要采取合适的数据结构，算法的时间复杂度为 O(e㏒₂e)。与普里姆算法相比，该算法更适合于求稀疏图的最小生成树。

（二）Prim算法

1.算法介绍

此算法可以称为“加点法”，每次迭代选择代价最小的边对应的点，加入到最小生成树中。算法从某一个顶点s开始，逐渐长大覆盖整个连通网的所有顶点。

1. 初始化：min[v]= ∞(v≠1); min[1]=0;MST=0;
2. for (i = 1; i<= n; i++)
   • （1）寻找min[u]最小的蓝点u。
   • （2）将u标记为白点
   • （3）MST+=min[u]
   • （4）for 与白点u相连的所有蓝点v  
     • if (w[u][v]<min[v])
     •  min[v]=w[u][v];
3. 算法结束： MST即为最小生成树的权值之和

2.算法分析

该算法时间复杂度为 O(n²)，与图结构的边数无关，适合稠密图。（n是点的数量）