169. 多数元素

一、题目

给定一个大小为 n 的数组 nums ，返回其中的多数元素。多数元素是指在数组中出现次数 大于 ⌊ n/2 ⌋ 的元素。

你可以假设数组是非空的，并且给定的数组总是存在多数元素。

二、思路

因为超过n/2的数组下标被众数占据了，这样我们随机挑选一个下标对应的元素并验证，有很大的概率能找到众数。

由于一个给定的下标对应的数字很有可能是众数，我们随机挑选一个下标，检查它是否是众数，如果是就返回，否则继续随机挑选。

三、代码

class Solution {
public:
    int majorityElement(vector<int>& nums) {
        while (true) {
            int candidate = nums[rand() % nums.size()];
            int count = 0;
            for (int num : nums)
                if (num == candidate)
                    ++count;
            if (count > nums.size() / 2)
                return candidate;
        }
        return -1;
    }
};

四、分析

时间复杂度：理论上最坏情况下的时间复杂度为 O(∞)，因为如果我们的运气很差，这个算法会一直找不到众数，随机挑选无穷多次，所以最坏时间复杂度是没有上限的。然而，运行的期望时间是线性的。为了更简单地分析，先说服你自己：由于众数占据 超过 数组一半的位置，期望的随机次数会小于众数占据数组恰好一半的情况。因此，我们可以计算随机的期望次数（下标为 prob 为原问题，mod 为众数恰好占据数组一半数目的问题）：

 

计算方法为：当众数恰好占据数组的一半时，第一次随机我们有 1/2 的概率找到众数，如果没有找到，则第二次随机时，包含上一次我们有 1/4​ 的概率找到众数，以此类推。

因此期望的次数为 i*1/2ⁱ 的和，可以计算出这个和为 2，说明期望的随机次数是常数。每一次随机后，我们需要 O(n)的时间判断这个数是否为众数，因此期望的时间复杂度为 O(n)

 

空间复杂度：O(1)O(1)O(1)。随机方法只需要常数级别的额外空间。