剑指 Offer 47. 礼物的最大价值

一、题目

在一个 m*n 的棋盘的每一格都放有一个礼物，每个礼物都有一定的价值（价值大于 0）。你可以从棋盘的左上角开始拿格子里的礼物，并每次向右或者向下移动一格、直到到达棋盘的右下角。给定一个棋盘及其上面的礼物的价值，请计算你最多能拿到多少价值的礼物？

二、思路

设 f(i,j)为从棋盘左上角走至单元格 (i,j) 的礼物最大累计价值，易得到以下递推关系：f(i,j)等于 f(i,j−1)和 f(i−1,j)中的较大值加上当前单元格礼物价值 grid(i,j) 。

　　　　　　f(i,j)=max[f(i,j−1),f(i−1,j)]+grid(i,j)

三、代码

class Solution:
    def maxValue(self, grid: List[List[int]]) -> int:
        m, n = len(grid), len(grid[0])
        for j in range(1, n): # 初始化第一行
            grid[0][j] += grid[0][j - 1]
        for i in range(1, m): # 初始化第一列
            grid[i][0] += grid[i - 1][0]
        for i in range(1, m):
            for j in range(1, n):
                grid[i][j] += max(grid[i][j - 1], grid[i - 1][j])
        return grid[-1][-1]

四、分析

复杂度分析：
时间复杂度 O(MN)： M,N分别为矩阵行高、列宽；动态规划需遍历整个 grid矩阵，使用 O(MN) 时间。
空间复杂度 O(1)： 原地修改使用常数大小的额外空间。