LGV 引理笔记

给定一个有向图 $G=(V,E)$，大小相同的起点集合 $A$ 和终点集合 $B$（$A,B\subseteq V,|A|=|B|=n$），每条路径的权值为路径上的边权乘积。定义一个路径组为一组 $n$ 条从 $A$ 中某点到 $B$ 中某点的路径，使得路径两两没有公共节点，且 $2n$ 个点各属于恰好一条路径。定义一个路径组的权值为其中所有路径的权值乘积。如果把一个路径组 $S$ 看成一个排列 $\sigma(S)$（代表 $A_i$ 去 $B_{\sigma(i)}$），求：

$$\sum_{S\in \{所有路径组\}}(-1)^{\sigma(S)的逆序对数}(S的权值)$$

这个问题看起来需要非常复杂的容斥，但 LGV 引理为我们提供了一个简洁的解决手段。
我们首先构造一个矩阵 $U$，$U_{i,j}=f(i,j)$，其中 $f(i,j)$ 代表从 $A_i$ 到 $B_j$ 的路径数。
Lemma. 上式的值等于 $U$ 的行列式的值。

在许多题目中，其实任意一个路径组的“权值”都默认是 1，也即计数合法路径组方案数相关的式子（这种情况下相当于把边权设为1）。但是不要忘记 LGV 还能用来求更具拓展性的问题。

【例】[NOI2021]路径交点
首先我们考虑一个路径组（根据题目定义，所求的路径组需要两两没有公共节点，所以就是 LGV 的题设）的“交点”个数的奇偶性与什么有关。对于一个确定的路径组，假如其中的一条路径 P1 和另一条路径 P2 在第 d 层的节点分别是 x 和 y，那把 P1 的改到 y、P2 的改到 x 不会改动 P1 和 P2 的交点个数奇偶性——只有一种情况例外：d = 1 或 K。更进一步地，我们发现如果 P1[1]<P2[1],P1[K]>P2[K]，则 P1 和 P2 必然有奇数个交点。因此，一个路径组的贡献应该是 $(-1)^{\sigma 的逆序对}$。如果学过 LGV 引理，就可以立刻通过递推出 $f(i,j)$ 的方式构造出 $U$ 然后高斯消元求行列式从而做出此题。

复制
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=205,mod=998244353;
int K,n[N],m[N],f[105][N][N],a[105][105];
vector<int>G[105][N];
inline void add(int &x,int y){(x+=y)>=mod&&(x-=mod);}
int main(){
	int T;
	cin>>T;
	while(T--){
		memset(f,0,sizeof f);
		cin>>K;
		for(int i=1;i<=K;i++)for(int j=1;j<=200;j++)G[i][j].clear();
		for(int i=1;i<=K;i++)cin>>n[i];
		for(int i=1;i<K;i++)cin>>m[i];
		for(int i=1;i<K;i++){
			for(int j=1,u,v;j<=m[i];j++)cin>>u>>v,G[i][u].emplace_back(v);
		}
		for(int i=1;i<=n[K];i++)f[K][i][i]=1;
		for(int i=K-1;i;i--){
			for(int j=1;j<=n[i];j++)for(int ed=1;ed<=n[K];ed++){
				for(int v:G[i][j])add(f[i][j][ed],f[i+1][v][ed]);
			}
		}
		for(int i=1;i<=n[1];i++)for(int j=1;j<=n[K];j++)a[i][j]=f[1][i][j];
		int det=1;
		int z=n[1];
		for(int i=1;i<=z;i++){
			for(int j=i+1;j<=z;j++){
				while(a[i][i]){
					int d=a[j][i]/a[i][i];
					for(int k=1;k<=z;k++)add(a[j][k],mod-1ll*a[i][k]*d%mod);
					swap(a[i],a[j]),det=-det;
				}
				swap(a[i],a[j]),det=-det;
			}
		}
		det=(det+mod)%mod;
		for(int i=1;i<=z;i++)det=1ll*det*a[i][i]%mod;
		cout<<det<<'\n';
	}
	return 0;	
}

小插曲：当时看 OI-Wiki 怎么都看不懂，因为 OI-wiki 上是倒着写的，先写矩阵，再写 det，再写 =，再写 $(-1)^{N(S)}$，然后我就以为 LGV 引理是用来求某个矩阵的行列式的……