虚树简介

有一类问题是形如：针对一棵 $n$ 个点的树有 $q$ 次询问，询问的东西可以在原来的树上轻松完成，但是会 TLE，并且询问只和一些关键点有关，这时可以考虑建出一棵浓缩了所有原树的关键点信息的、规模为 $O(k)$ （ $k$ 为关键点个数）的虚树，在虚树上可以容易地处理询问，一般在保证 $\sum k$ 与 $n$ 同阶情况下高效处理了询问。

建立虚树的方法

这颗树上有 $k$ 个关键点，它们两两之间的 LCA 不同的总共不超过 $k$ 个，即为将它们按 dfn 排序后（环状）相邻的两个之间的 LCA 们。
虚树就是关键点、LCA 集合、根的并，按原树祖先后代关系重建出的一棵树。不难发现数的规模 $\le 2k+1$ 。

普遍的建虚树的方法是使用 dfn 单调栈（其实就是一个栈而已），步骤如下：

将关键点按 dfn 递增顺序排序。
将根节点入栈。
开一个 vector 存储虚树中的点（因为我们现在还不知道它们）。
从根节点开始 dfs 这棵树，对于遇到的关键点 $h$ ，依次执行下面的步骤：
- 将栈顶和 $h$ 取 LCA，记作 $lca$ 。显然栈不为空。
- 如果栈顶的 dfn 大于 $lca$ 的 dfn，则依次执行下面的两个步骤：
  - 一直弹栈，直到栈内只剩唯一元素或次栈顶的 dfn 不大于 $lca$ 的 dfn。每次弹栈将次栈顶和栈顶之间连边于虚树。
  - 将 $lca$ 和栈顶连边于虚树，并弹栈。
- 如果栈顶 $\ne lca$ ，将 $lca$ 入栈。
- 将 $h$ 入栈。
此时栈中应仍有元素，一直弹栈，直到栈空。若栈内有超过一个元素，则每次弹栈将次栈顶和栈顶之间连边于虚树。
清空：必须 $O(k)$ 清空，因此上述每次弹栈送入 vector，显然 vector 内元素互异，遍历并清空其邻接表从而清空虚树。

解释：

单调栈中保存的时刻是一条根节点到当前关键点的虚树中节点路径。
步骤 4.2 其实模拟的是下图所示情形：
虚树中的连边有时会依据题目情景而有边权，有时有向有时无向。
复杂度为 $O(k\log n)$ 。

推荐题目

[SDOI2011]消耗战

很容易被题目提示联想到使用虚树。在虚树中进行简单的树形 dp 即可，边权设置为原树上两点之间的边权最小值，可以用 lca 顺带求。

代码的核心部分之一是求连通图的虚树

复制 #include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=5e5+5,INF=1e9;
int n,k,q,tp,dfc,h[N],dep[N],fa[N][20],mn[N][20],stk[N],dfn[N];
ll f[N];
bool imp[N]; 
vector<pair<int,int> >G[N],T[N];
inline int read(){
	register char ch=getchar();register int x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return x;
}
void dfs1(int x,int p){
	dep[x]=dep[p]+1,fa[x][0]=p,dfn[x]=++dfc;
	for(int i=1;i<=19;i++){
		fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
		mn[x][i]=min(mn[x][i-1],mn[fa[x][i-1]][i-1]);
	}
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
		int y=G[x][i].first,z=G[x][i].second;
		if(y^p){
			mn[y][0]=z;
			dfs1(y,x);
		}
	}
}
inline int glca(int u,int v){
	if(u==v)return u;
	if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
	for(int i=19;~i;i--)if(dep[fa[v][i]]>=dep[u])v=fa[v][i];
	if(u==v)return u;
	for(int i=19;~i;i--)if(fa[u][i]!=fa[v][i])u=fa[u][i],v=fa[v][i];
	return fa[u][0];
}
inline int gmin(int u,int v){
	if(u==v)return 0;
	if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
	int s=1e9;
	for(int i=19;~i;i--)if(dep[fa[v][i]]>=dep[u])s=min(s,mn[v][i]),v=fa[v][i];
	if(u==v)return s;
	for(int i=19;~i;i--)if(fa[u][i]!=fa[v][i])s=min(s,min(mn[u][i],mn[v][i])),u=fa[u][i],v=fa[v][i];
	return min(s,min(mn[u][0],mn[v][0]));
}
void dfs2(int x){
	f[x]=0;
	if(imp[x]){f[x]=INF;return;}
	for(int i=0;i<T[x].size();i++){
		int y=T[x][i].first,z=T[x][i].second;
		dfs2(y),f[x]+=min(f[y],(ll)z);
	}
}
void init(){
	for(int i=1;i<=k;i++)imp[h[i]]=1;
	sort(h+1,h+k+1,[](int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];});
	stk[tp=1]=1;
	vector<int>vec;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		int lca=glca(stk[tp],h[i]);
		if(tp>1&&dfn[stk[tp]]>dfn[lca]){
			while(tp>1&&dfn[stk[tp-1]]>dfn[lca])T[stk[tp-1]].push_back(make_pair(stk[tp],gmin(stk[tp-1],stk[tp]))),vec.push_back(stk[tp--]);
			vec.push_back(stk[tp--]);
			T[lca].push_back(make_pair(stk[tp+1],gmin(stk[tp+1],lca)));
		}
		if(stk[tp]!=lca)stk[++tp]=lca;
		stk[++tp]=h[i];
	}
	while(tp)T[stk[tp-1]].push_back(make_pair(stk[tp],gmin(stk[tp-1],stk[tp]))),vec.push_back(stk[tp--]);
	dfs2(1);
	cout<<f[1]<<'\n';
	for(int i=0;i<vec.size();i++)T[vec[i]].clear();
	for(int i=1;i<=k;i++)imp[h[i]]=0;
}
int main(){
	n=read();
	for(int i=1,u,v,w;i<n;i++){
		u=read(),v=read(),w=read();
		G[u].push_back(make_pair(v,w)),G[v].push_back(make_pair(u,w));
	}
	dfs1(1,0);
	q=read();
	while(q--){
		k=read();
		for(int i=1;i<=k;i++)h[i]=read();
		init();
	}
}

CF639F Bear and Chemistry

代码的核心部分之一是求非连通的虚树（虚森林）

 /*
1. Build initial graph in init.G
2. Compress vertex via e-dcc and store it in init.T 
3. For each query:
	1) Select vital vertexes: V:x and E:u,v
	2) Build virtual tree of forest init.T and store it in now.G
	3) Connect edges in E in now.G
	4) Run e-dcc again and update bel[], finally verify V
*/
#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=3e5+5;
int n,m,q,k,n_v,n_e,R,tp,_rt,tfc,Edge,h[N*3],stk[N*2],tfn[N],fa[N][20],rt[N],dep[N];
vector<int>v;
vector<pair<int,int> >e;
inline int read(){
	register char ch=getchar();register int x=0;
	while(ch<'0'||ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return x;
}
inline int rotate(int element){
   element=(element+R)%n;
   if(!element)element=n;
   return element;
}
struct Graph {
	vector<pair<int,int> >G[N];
	vector<int>T[N];
	int dfc,tp,cnt,dfn[N],low[N],stk[N],bel[N];
	vector<pair<int,int> >cut_e;
	inline void cl(){dfc=tp=cnt=0;cut_e.clear();}
	void Tarjan(int x,int pid,int p){//cout<<x;
		dfn[x]=low[x]=++dfc,stk[++tp]=x;
		for(int i=0;i<G[x].size();i++){
			int y=G[x][i].first,z=G[x][i].second;
			if(z^pid){
				if(!dfn[y]){
					Tarjan(y,z,x);
					low[x]=min(low[x],low[y]);
				}
				else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
			}
		}
		if(dfn[x]==low[x]){
			cnt++;
			while(tp){
				bel[stk[tp]]=cnt;
				if(stk[tp--]==x)break;
			}
			if(p)cut_e.push_back(make_pair(p,x));
		}
	}
}init,now;
void dfs(int x,int p){
	rt[x]=_rt;
	tfn[x]=++tfc,fa[x][0]=p,dep[x]=dep[p]+1;
	for(int i=1;i<=19;i++)fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	for(int i=0;i<init.T[x].size();i++){
		int y=init.T[x][i];
		if(y^p)dfs(y,x);
	}
}
inline int glca(int u,int v){
	if(u==v)return u;
	if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
	for(int i=19;~i;i--)if(dep[fa[v][i]]>=dep[u])v=fa[v][i];
	if(u==v)return u;
	for(int i=19;~i;i--)if(fa[u][i]!=fa[v][i])u=fa[u][i],v=fa[v][i];
	return fa[u][0];
}
inline void adde(int u,int v){if(!u||!v)return;now.G[u].push_back(make_pair(v,++Edge)),now.G[v].push_back(make_pair(u,Edge));}
bool build(){
	vector<int>vec;
	tp=0;
	for(int i=1;i<=k;i++){
		if(rt[h[i]]!=rt[h[i-1]]){
			while(tp)adde(stk[tp-1],stk[tp]),vec.push_back(stk[tp--]);
			stk[tp=1]=rt[h[i]];
		}
		int lca=glca(h[i],stk[tp]);
		if(tp>1&&tfn[stk[tp]]>tfn[lca]){
			while(tp>1&&tfn[stk[tp-1]]>tfn[lca])
				adde(stk[tp-1],stk[tp]),vec.push_back(stk[tp--]);
			adde(lca,stk[tp]),vec.push_back(stk[tp--]);
		}
		if(stk[tp]!=lca)stk[++tp]=lca;
		if(lca!=h[i])stk[++tp]=h[i];
	}
	while(tp)adde(stk[tp-1],stk[tp]),vec.push_back(stk[tp--]);
	for(int i=0;i<n_e;i++)adde(init.bel[e[i].first],init.bel[e[i].second]);
	for(int i=0;i<vec.size();i++)if(!now.dfn[vec[i]])now.Tarjan(vec[i],0,0);
	bool fl=1;
	for(int i=1;i<n_v;i++)if(now.bel[init.bel[v[i]]]!=now.bel[init.bel[v[i-1]]]){fl=0;break;}
	for(int i=0;i<vec.size();i++)now.G[vec[i]].clear(),now.dfn[vec[i]]=0;
	now.cl();
	return fl;
}
signed main(){
	n=read(),m=read(),q=read();
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
		u=read(),v=read();
		init.G[u].push_back(make_pair(v,++Edge)),init.G[v].push_back(make_pair(u,Edge));
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)if(!init.dfn[i])init.Tarjan(i,0,0);
	for(int i=0;i<init.cut_e.size();i++){
		init.T[init.bel[init.cut_e[i].first]].push_back(init.bel[init.cut_e[i].second]);
		init.T[init.bel[init.cut_e[i].second]].push_back(init.bel[init.cut_e[i].first]);
	}
	for(int i=1;i<=init.cnt;i++)if(!tfn[i])_rt=i,dfs(i,0);
	for(int id=1;id<=q;id++){
		n_v=read(),n_e=read();
		v.resize(n_v),e.resize(n_e);
		k=0;
		for(int i=0;i<n_v;i++)v[i]=rotate(read()),h[++k]=init.bel[v[i]];
		for(int i=0;i<n_e;i++){
			e[i].first=rotate(read()),e[i].second=rotate(read());
			h[++k]=init.bel[e[i].first],h[++k]=init.bel[e[i].second];
		}
		sort(h+1,h+k+1,[](int a,int b){return tfn[a]<tfn[b];});
		k=unique(h+1,h+k+1)-h-1;
		if(build())puts("YES"),R+=id;
		else puts("NO");
	}
}

posted @ 2022-04-09 21:06 pengyule 阅读(145) 评论(0) 编辑收藏举报

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	#include <bits/stdc++.h>
	using namespace std;
	typedef long long ll;
	const int N=5e5+5,INF=1e9;
	int n,k,q,tp,dfc,h[N],dep[N],fa[N][20],mn[N][20],stk[N],dfn[N];
	ll f[N];
	bool imp[N];
	vector<pair<int,int> >G[N],T[N];
	inline int read(){
	register char ch=getchar();register int x=0;
	while(ch<'0'\|\|ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return x;
	}
	void dfs1(int x,int p){
	dep[x]=dep[p]+1,fa[x][0]=p,dfn[x]=++dfc;
	for(int i=1;i<=19;i++){
	fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	mn[x][i]=min(mn[x][i-1],mn[fa[x][i-1]][i-1]);
	}
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
	int y=G[x][i].first,z=G[x][i].second;
	if(y^p){
	mn[y][0]=z;
	dfs1(y,x);
	}
	}
	}
	inline int glca(int u,int v){
	if(u==v)return u;
	if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
	for(int i=19;~i;i--)if(dep[fa[v][i]]>=dep[u])v=fa[v][i];
	if(u==v)return u;
	for(int i=19;~i;i--)if(fa[u][i]!=fa[v][i])u=fa[u][i],v=fa[v][i];
	return fa[u][0];
	}
	inline int gmin(int u,int v){
	if(u==v)return 0;
	if(dep[u]>dep[v])swap(u,v);
	int s=1e9;
	for(int i=19;~i;i--)if(dep[fa[v][i]]>=dep[u])s=min(s,mn[v][i]),v=fa[v][i];
	if(u==v)return s;
	for(int i=19;~i;i--)if(fa[u][i]!=fa[v][i])s=min(s,min(mn[u][i],mn[v][i])),u=fa[u][i],v=fa[v][i];
	return min(s,min(mn[u][0],mn[v][0]));
	}
	void dfs2(int x){
	f[x]=0;
	if(imp[x]){f[x]=INF;return;}
	for(int i=0;i<T[x].size();i++){
	int y=T[x][i].first,z=T[x][i].second;
	dfs2(y),f[x]+=min(f[y],(ll)z);
	}
	}
	void init(){
	for(int i=1;i<=k;i++)imp[h[i]]=1;
	sort(h+1,h+k+1,[](int a,int b){return dfn[a]<dfn[b];});
	stk[tp=1]=1;
	vector<int>vec;
	for(int i=1;i<=k;i++){
	int lca=glca(stk[tp],h[i]);
	if(tp>1&&dfn[stk[tp]]>dfn[lca]){
	while(tp>1&&dfn[stk[tp-1]]>dfn[lca])T[stk[tp-1]].push_back(make_pair(stk[tp],gmin(stk[tp-1],stk[tp]))),vec.push_back(stk[tp--]);
	vec.push_back(stk[tp--]);
	T[lca].push_back(make_pair(stk[tp+1],gmin(stk[tp+1],lca)));
	}
	if(stk[tp]!=lca)stk[++tp]=lca;
	stk[++tp]=h[i];
	}
	while(tp)T[stk[tp-1]].push_back(make_pair(stk[tp],gmin(stk[tp-1],stk[tp]))),vec.push_back(stk[tp--]);
	dfs2(1);
	cout<<f[1]<<'\n';
	for(int i=0;i<vec.size();i++)T[vec[i]].clear();
	for(int i=1;i<=k;i++)imp[h[i]]=0;
	}
	int main(){
	n=read();
	for(int i=1,u,v,w;i<n;i++){
	u=read(),v=read(),w=read();
	G[u].push_back(make_pair(v,w)),G[v].push_back(make_pair(u,w));
	}
	dfs1(1,0);
	q=read();
	while(q--){
	k=read();
	for(int i=1;i<=k;i++)h[i]=read();
	init();
	}
	}

	/*
	1. Build initial graph in init.G
	2. Compress vertex via e-dcc and store it in init.T
	3. For each query:
	1) Select vital vertexes: V:x and E:u,v
	2) Build virtual tree of forest init.T and store it in now.G
	3) Connect edges in E in now.G
	4) Run e-dcc again and update bel[], finally verify V
	*/
	#include <bits/stdc++.h>
	#define int long long
	using namespace std;
	const int N=3e5+5;
	int n,m,q,k,n_v,n_e,R,tp,_rt,tfc,Edge,h[N3],stk[N2],tfn[N],fa[N][20],rt[N],dep[N];
	vector<int>v;
	vector<pair<int,int> >e;
	inline int read(){
	register char ch=getchar();register int x=0;
	while(ch<'0'\|\|ch>'9')ch=getchar();
	while(ch>='0'&&ch<='9')x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48),ch=getchar();
	return x;
	}
	inline int rotate(int element){
	element=(element+R)%n;
	if(!element)element=n;
	return element;
	}
	struct Graph {
	vector<pair<int,int> >G[N];
	vector<int>T[N];
	int dfc,tp,cnt,dfn[N],low[N],stk[N],bel[N];
	vector<pair<int,int> >cut_e;
	inline void cl(){dfc=tp=cnt=0;cut_e.clear();}
	void Tarjan(int x,int pid,int p){//cout<<x;
	dfn[x]=low[x]=++dfc,stk[++tp]=x;
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
	int y=G[x][i].first,z=G[x][i].second;
	if(z^pid){
	if(!dfn[y]){
	Tarjan(y,z,x);
	low[x]=min(low[x],low[y]);
	}
	else low[x]=min(low[x],dfn[y]);
	}
	}
	if(dfn[x]==low[x]){
	cnt++;
	while(tp){
	bel[stk[tp]]=cnt;
	if(stk[tp--]==x)break;
	}
	if(p)cut_e.push_back(make_pair(p,x));
	}
	}
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	void dfs(int x,int p){
	rt[x]=_rt;
	tfn[x]=++tfc,fa[x][0]=p,dep[x]=dep[p]+1;
	for(int i=1;i<=19;i++)fa[x][i]=fa[fa[x][i-1]][i-1];
	for(int i=0;i<init.T[x].size();i++){
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	if(y^p)dfs(y,x);
	}
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	inline int glca(int u,int v){
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	return fa[u][0];
	}
	inline void adde(int u,int v){if(!u\|\|!v)return;now.G[u].push_back(make_pair(v,++Edge)),now.G[v].push_back(make_pair(u,Edge));}
	bool build(){
	vector<int>vec;
	tp=0;
	for(int i=1;i<=k;i++){
	if(rt[h[i]]!=rt[h[i-1]]){
	while(tp)adde(stk[tp-1],stk[tp]),vec.push_back(stk[tp--]);
	stk[tp=1]=rt[h[i]];
	}
	int lca=glca(h[i],stk[tp]);
	if(tp>1&&tfn[stk[tp]]>tfn[lca]){
	while(tp>1&&tfn[stk[tp-1]]>tfn[lca])
	adde(stk[tp-1],stk[tp]),vec.push_back(stk[tp--]);
	adde(lca,stk[tp]),vec.push_back(stk[tp--]);
	}
	if(stk[tp]!=lca)stk[++tp]=lca;
	if(lca!=h[i])stk[++tp]=h[i];
	}
	while(tp)adde(stk[tp-1],stk[tp]),vec.push_back(stk[tp--]);
	for(int i=0;i<n_e;i++)adde(init.bel[e[i].first],init.bel[e[i].second]);
	for(int i=0;i<vec.size();i++)if(!now.dfn[vec[i]])now.Tarjan(vec[i],0,0);
	bool fl=1;
	for(int i=1;i<n_v;i++)if(now.bel[init.bel[v[i]]]!=now.bel[init.bel[v[i-1]]]){fl=0;break;}
	for(int i=0;i<vec.size();i++)now.G[vec[i]].clear(),now.dfn[vec[i]]=0;
	now.cl();
	return fl;
	}
	signed main(){
	n=read(),m=read(),q=read();
	for(int i=1,u,v;i<=m;i++){
	u=read(),v=read();
	init.G[u].push_back(make_pair(v,++Edge)),init.G[v].push_back(make_pair(u,Edge));
	}
	for(int i=1;i<=n;i++)if(!init.dfn[i])init.Tarjan(i,0,0);
	for(int i=0;i<init.cut_e.size();i++){
	init.T[init.bel[init.cut_e[i].first]].push_back(init.bel[init.cut_e[i].second]);
	init.T[init.bel[init.cut_e[i].second]].push_back(init.bel[init.cut_e[i].first]);
	}
	for(int i=1;i<=init.cnt;i++)if(!tfn[i])_rt=i,dfs(i,0);
	for(int id=1;id<=q;id++){
	n_v=read(),n_e=read();
	v.resize(n_v),e.resize(n_e);
	k=0;
	for(int i=0;i<n_v;i++)v[i]=rotate(read()),h[++k]=init.bel[v[i]];
	for(int i=0;i<n_e;i++){
	e[i].first=rotate(read()),e[i].second=rotate(read());
	h[++k]=init.bel[e[i].first],h[++k]=init.bel[e[i].second];
	}
	sort(h+1,h+k+1,[](int a,int b){return tfn[a]<tfn[b];});
	k=unique(h+1,h+k+1)-h-1;
	if(build())puts("YES"),R+=id;
	else puts("NO");
	}
	}