CF1120D Power Tree——一题多解

https://www.luogu.com.cn/problem/CF1120D

给你一棵树，想象你可以对于每个点 $x$，用 $c_x$ 的花费得到子树中所有叶子的权值和，你想要解出所有叶子的权值，最少要多少花费？（相较于原题，题意有改动，是根据模拟赛的题意来的）$n\le 10^6,1\le c_x\le 10^9$

法1.区间转差分的思想+最小生成树

你可以把叶子按从左到右（直观的）看成一个序列，每个点可以对序列的一个可知的区间进行区间查和这样的（想象），运用区间转差分的思想，$[l,r]$ 可以换成 $\lang l,r+1\rang$，在一个大小为 $cnt\_leaf+1$ 的图里将 $l,r+1$ 连一条权值为 $c_x$ 的边；只需要最后叶子们都连通，根据 $n$ 元一次方程组需要 $n$ 个方程解出，则转化为最小生成树问题。
难点在于第二问，对于最小生成树的边数组（已排序）连续的一段一样的边权的边，合法的都可能，而处理完这一段得到的图的连通性都是一样的，所以不会影响后续。具体不太好说，看代码吧。

复制
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6+5;
int n,dfc,id_lf,c[N],u[N],v[N],fa[N],lf[N],rf[N],dfn[N],num[N];
vector<int>G[N];
struct J{int u,v,w,id;}e[N];
int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
void unite(int x,int y){fa[find(y)]=find(x);}
void dfs1(int x,int p){
	bool is_lf=1;
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
		int y=G[x][i];
		if(y^p)is_lf=0,dfs1(y,x);
	}
	if(is_lf)num[x]=++id_lf;
}
void dfsa(int x,int p){
	dfn[++dfc]=x;
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
		int y=G[x][i];
		if(y^p)dfsa(y,x);
	}
	rf[x]=num[dfn[dfc]];
}
void dfsb(int x,int p){
	dfn[++dfc]=x;
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
		int y=G[x][i];
		if(y^p)dfsb(y,x);
	}
	lf[x]=num[dfn[dfc]];
}
int main(){
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&c[i]);
	for(int i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&u[i],&v[i]);
	for(int i=1;i<n;i++)G[u[i]].push_back(v[i]),G[v[i]].push_back(u[i]);
	dfs1(1,0);for(int i=1;i<=id_lf+1;i++)fa[i]=i;
	dfsa(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)G[i].clear();
	for(int i=n-1;i;i--)G[u[i]].push_back(v[i]),G[v[i]].push_back(u[i]);
	dfc=0,dfsb(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)/*cout<<lf[i]<<' '<<rf[i]<<'\n',*/e[i].u=lf[i],e[i].v=rf[i]+1,e[i].w=c[i],e[i].id=i;
	sort(e+1,e+n+1,[](J a,J b){return a.w<b.w;});
	vector<int>st;
	long long sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int j=i-1;
		while(j<n&&e[j+1].w==e[i].w){
			j++;
			if(find(e[j].u)!=find(e[j].v))st.push_back(e[j].id);
		}
		j=i-1;
		while(j<n&&e[j+1].w==e[i].w){
			j++;
			if(find(e[j].u)!=find(e[j].v))unite(e[j].u,e[j].v),sum+=e[j].w;
		}
		i=j;
	}
	cout<<sum<<' '<<st.size()<<'\n';
	sort(st.begin(),st.end());
	for(int i=0;i<st.size();i++)cout<<st[i]<<' ';
}

法2.DP

也可以用树形dp做，但我还没有调出来，因为我的写法很折腾人。这个做法远远不如法1来得优美，但没办法，你看下面这个plus问题

第三问：最优方案有几种？两种方案不同当且仅当取的 $x$ 的集合不同。

如果沿用最小生成树的方法，将可以以连续相同的一段为子问题形成一些求生成树个数的问题，即矩阵树定理解决，复杂度很高，弃用。而这里使用树dp就会很方便。

设 $f[i][0/1]$ 表示以 $i$ 为根的子树中的所有叶子只剩 $0/1$ 个没有被解出来需要的最小花费，$g[i][0/1]$ 表示对应方案数。
依次枚举子节点并递归，那么每个时刻最开始 $f,g$ 都代表前...个子节点的子树中的所有叶子...的对应值：

f[x][0]=f[x][1]=0,g[x][0]=g[x][1]=1;
for(int i=0;i<G[x].size();i++){
	int y=G[x][i];
	if(y^p){
		dfs(y,x);
		if(f[x][1]+f[y][0]<f[x][0]+f[y][1])
			f[x][1]+=f[y][0],g[x][1]=1ll*g[x][1]*g[y][0]%mod;
		else {
			if(f[x][1]+f[y][0]==f[x][0]+f[y][1])
				g[x][1]=(1ll*g[x][1]*g[y][0]%mod+1ll*g[x][0]*g[y][1]%mod)%mod;
			else g[x][1]=1ll*g[x][0]*g[y][1]%mod;
			f[x][1]=f[x][0]+f[y][1];//注意处理f/g的先后关系
		}
		f[x][0]+=f[y][0],g[x][0]=1ll*g[x][0]*g[y][0]%mod;//注意处理0/1的先后关系
	}
}

mycode

#include <bits/stdc++.h>//Power Tree+: 三个问
using namespace std;
const int N=1e6+5,mod=998244353;
int n,dfc,id_lf,c[N],u[N],v[N],fa[N],lf[N],rf[N],dfn[N],num[N],g[N][2];
long long f[N][2];
vector<int>G[N];
struct J{int u,v,w,id;}e[N];
int find(int x){return x==fa[x]?x:fa[x]=find(fa[x]);}
void unite(int x,int y){fa[find(y)]=find(x);}
void dfs1(int x,int p){
	bool is_lf=1;
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
		int y=G[x][i];
		if(y^p)is_lf=0,dfs1(y,x);
	}
	if(is_lf)num[x]=++id_lf;
}
void dfsa(int x,int p){
	dfn[++dfc]=x;
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
		int y=G[x][i];
		if(y^p)dfsa(y,x);
	}
	rf[x]=num[dfn[dfc]];
}
void dfsb(int x,int p){
	dfn[++dfc]=x;
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
		int y=G[x][i];
		if(y^p)dfsb(y,x);
	}
	lf[x]=num[dfn[dfc]];
}
void dfs(int x,int p){
	f[x][0]=f[x][1]=0,g[x][0]=g[x][1]=1;
	bool is_lf=1;
	for(int i=0;i<G[x].size();i++){
		int y=G[x][i];
		if(y^p){
			is_lf=0;
			dfs(y,x);
			if(f[x][1]+f[y][0]<f[x][0]+f[y][1])
				f[x][1]+=f[y][0],g[x][1]=1ll*g[x][1]*g[y][0]%mod;
			else {
				if(f[x][1]+f[y][0]==f[x][0]+f[y][1])
					g[x][1]=(1ll*g[x][1]*g[y][0]%mod+1ll*g[x][0]*g[y][1]%mod)%mod;
				else g[x][1]=1ll*g[x][0]*g[y][1]%mod;
				f[x][1]=f[x][0]+f[y][1];
			}
			f[x][0]+=f[y][0],g[x][0]=1ll*g[x][0]*g[y][0]%mod;
		}
	}
	if(is_lf){f[x][0]=c[x];return;}
	if(f[x][0]>f[x][1]+c[x])f[x][0]=f[x][1]+c[x],g[x][0]=g[x][1];
	else if(f[x][0]==f[x][1]+c[x])g[x][0]=(g[x][0]+g[x][1])%mod;
}
void print(int x){
	if(x/10)print(x/10);
	putchar(x%10+48);
}
int main(){
    freopen("purtree.in","r",stdin);freopen("purtree.out","w",stdout);
	scanf("%d",&n);
	for(int i=1;i<=n;i++)scanf("%d",&c[i]);
	for(int i=1;i<n;i++)scanf("%d%d",&u[i],&v[i]);
	for(int i=1;i<n;i++)G[u[i]].push_back(v[i]),G[v[i]].push_back(u[i]);
	dfs1(1,0);for(int i=1;i<=id_lf+1;i++)fa[i]=i;
	dfsa(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)G[i].clear();
	for(int i=n-1;i;i--)G[u[i]].push_back(v[i]),G[v[i]].push_back(u[i]);
	dfc=0,dfsb(1,0);
	for(int i=1;i<=n;i++)/*cout<<lf[i]<<' '<<rf[i]<<'\n',*/e[i].u=lf[i],e[i].v=rf[i]+1,e[i].w=c[i],e[i].id=i;
	sort(e+1,e+n+1,[](J a,J b){return a.w<b.w;});
	vector<int>st;
	long long sum=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		int j=i-1;
		while(j<n&&e[j+1].w==e[i].w){
			j++;
			if(find(e[j].u)!=find(e[j].v))st.push_back(e[j].id);
		}
		j=i-1;
		while(j<n&&e[j+1].w==e[i].w){
			j++;
			if(find(e[j].u)!=find(e[j].v))unite(e[j].u,e[j].v),sum+=e[j].w;
		}
		i=j;
	}
	cout<<sum<<'\n';
    int cs;cin>>cs;
    sort(st.begin(),st.end());
	if(cs>=2)for(int i=0;i<st.size();i++)print(st[i]),putchar(' ');puts("");
	if(cs>=3)dfs(1,0),print(g[1][0]);
}