无向图三元环计数

小知识点，但不可不学。

定义一个优先级：\(u<v\) 当且仅当 1. \(\deg[u]<\deg[v]\) 2. \(\deg[u]=\deg[v]\) 且 \(u<v\)
给无向图中每条边定向，从优先级低连向优先级高，从而图变成 DAG。
不重不漏地暴力统计三元环：原图中的三元环在新图中一定是，枚举 \(u\)，再枚举 \(u\) 的出边中的 \(v\)，再对于每一个 \(v\) 的指向的点 \(O(1)\) 判断 \(w\) 是否被 \(u\) 指向。
时间复杂度 \(O(m\sqrt m)\)，可以用根号分治证明：

那么考虑对于每一条边 \(\lang u \rightarrow v\rang\)，它对复杂度造成的贡献是 \(out_v\)，因此总复杂度即为 \(\sum_{i = 1}^m out_{v_i}\)，其中 \(v_i\) 是第 \(i\) 条边指向的点，\(out_v\) 是点 \(v\) 的出度。
考虑分情况讨论。

当 \(v\) 在原图（无向图）上的度数不大于 \(\sqrt m\) 时，由于新图每个节点的出度不可能小于原图的度数，所以 \(out_v = O(\sqrt m)\)。
当 \(v\) 在原图上的度数大于 \(\sqrt m\) 时，注意到它只能向原图中度数不小于它的点连边，又因为原图中所有的点的度数和为 \(O(m)\)，所以原图中度数大于 \(\sqrt m\) 的点只有 \(O(\sqrt m)\) 个。因此 \(v\) 的出边只有 \(O(\sqrt m)\) 条，也即 \(out_v = O(\sqrt m)\)。

因此所有节点的出度均为 \(O(\sqrt m)\)，总复杂度 \(\sum_{i = 1}^m out_{v_i} = O(m \sqrt m)\)。
——扶苏's Blog

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=2e5+5;
int n,m,ans,u[N],v[N],deg[N],bk[N];
vector<int>G[N];
int main(){
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<=m;i++)scanf("%d%d",&u[i],&v[i]),deg[u[i]]++,deg[v[i]]++;
	for(int i=1;i<=m;i++){
		if(deg[u[i]]>deg[v[i]]||deg[u[i]]==deg[v[i]]&&u[i]>v[i])swap(u[i],v[i]);
		G[u[i]].push_back(v[i]);
	}
	for(int x=1;x<=n;x++){
		for(int i=0;i<G[x].size();i++)bk[G[x][i]]=1;
		for(int i=0;i<G[x].size();i++)for(int j=0;j<G[G[x][i]].size();j++)ans+=bk[G[G[x][i]][j]];
		for(int i=0;i<G[x].size();i++)bk[G[x][i]]=0;
	}
	cout<<ans;
}