数论

费马小定理

\[p\text{ is prime}\Rightarrow a^{p-1}\equiv 1(\bmod p) \]

【逆否命题】

\[a^{p-1}\not \equiv 1(\bmod p)\Rightarrow p\text{ isn't prime} \]

【相关】

\[{a^c\equiv 1\pmod p}\Rightarrow \gcd(a,p)=1 \]

欧拉定理

\[\gcd(a,p)=1\Rightarrow a^{\varphi(p)}\equiv 1(\bmod p) \]

【推论】逆元 \(x_{\text{inv}}=x^{\varphi(p)-1}(x\perp p)\)

扩展欧拉定理

\[\gcd(a,p)=1\Rightarrow a^b=a^{b\mod\varphi(p)}(\bmod p)\\ \gcd(a,p)\ne 1,b<\varphi(p)\Rightarrow a^b=a^b(\bmod p)\\ \gcd(a,p)\ne 1,b\ge \varphi(p)\Rightarrow a^b=a^{b\mod\varphi(p)+\varphi(p)}(\bmod p) \]

拉格朗日插值公式

\[f(x_0)=\sum_{i=1}^ny_i\prod_{j\ne i}\frac{x_0-x_j}{x_i-x_j} \]

裴蜀定理

\[\{x\mid ax+by=c\}\ne \varnothing \iff \gcd(a,b)|c \]

【推论】

\[\{x\mid a_1x_1+a_2x_2+...+a_nx_n=c\}\ne\varnothing\iff\gcd(a_1,a_2,...,a_n)|c \]

二项式定理

\[(x+y)^n=\sum_{i=0}^nx^iy^{n-i}{n\choose i}\\ (x-y)^n=\sum_{i=0}^n(-1)^{n-i}x^iy^{n-i}{n\choose i} \]

【推论】

\[\sum_{0\le i\le n,2|i}x^iy^{n-i}{n\choose i}={(x+y)^n+(x-y)^n\over 2}(n为偶数；n为奇数类似) \]

Lucas 定理

\[\binom{n}{m}=\binom{n/p}{m/p}\cdot \binom{n\operatorname{mod}p}{m\operatorname{mod}p}\pmod p \]

组合数学恒等式

1. \[\sum_{i=0}^r{n\choose i}{m\choose r-i}={n+m\choose r}\\注意区分：\sum_{i=0}^{m-d+1} i{m-i+1\choose d+1}={m+2\choose d+2} \]

2. \[\sum_{i=m}^n{i\choose m}={n+1\choose m+1} \]

3. \[\sum_{i=0}^n{n\choose i}^2={2n\choose n} \]

Burnside 引理

\[|X/G|={\sum_{g\in G}X^g\over |G|} \]

文字叙述：\(X\) 在 \(G\) 作用下的等价类的个数 = 每个 \(g\in G\) 作用下 \(X\) 中不动点的个数的平均值。
【推论】本质不同环的数量(\(n\) 为环长，\(m\) 为颜色数)

\[|X/G|={\sum_{d|n}m^d\varphi({n\over d})\over n} \]

Mobius 反演

\[[n=1]=\sum_{d|n}\mu(n) \]

\[n=\sum_{d|n}\varphi (n) \]

\[f(n)=\sum_{d|n}g(d)\Longrightarrow g(n)=\sum_{d|n}\mu(\frac nd)f(d); \]

\[f(n)=\sum_{n|d}g(d)\Longrightarrow g(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac nd)f(d). \]

φ(n),d(n)

\(n\) 以内和 \(n\) 互质的数之和：\(\frac{n\varphi(n)}2\)
约数个数 \(d(n)\) 线性筛递推式：\(p,i\) 互质时，\(d(p\times i)=2d(i)\)，不互质时，\(d(p\times i)=2d(i)-d(\frac{i}{p})\)
\(d(ij)\) 的推导形式：\(d(ij)=\sum_{x|i}\sum_{y|j}[\gcd(x,y)=1]\)

二项式反演

\[f(n)=\sum_{i=m}^n{n\choose i}g(i)\iff g(n)=\sum_{i=m}^n(-1)^{n-i}{n\choose i}f(i) \]

\[f(n)=\sum_{i=n}^m{i\choose n}g(i)\iff g(n)=\sum_{i=n}^m(-1)^{i-n}{i\choose n}f(i) \]