中国剩余定理简介

在《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二（mod3=2），五五数之剩三（mod5=3），七七数之剩二(mod7=2），问物几何？”这个问题称为“孙子问题”，该问题的一般解法国际上称为“中国剩余定理”。

具体解法分下面三步：

1、找出三个数：从3和5的公倍数中找出被7除余1的最小数15，从3和7的公倍数中找出被5除余1 的最小数21，最后从5和7的公倍数中找出除3余1的最小数70。

2、用15乘以2（2为最终结果除以7的余数），用21乘以3（3为最终结果除以5的余数），同理，用70乘以2（2为最终结果除以3的余数），然后把三个乘积相加15∗2+21∗3+70∗215∗2+21∗3+70∗2得到和233。

3、用233除以3、5、7的最小公倍数105，得到余数23，这个余数23就是符合条件的最小数。

很神奇，是吧？我们逐步剖析。

我们第一目标是求一个数n符合条件，而不需最小。
我们先假设n1是满足mod3=2的任意一个数，n2是满足mod5=3的任意一个数，n1是满足mod7=2的任意一个数。如果想要(n1+n2)也mod3=2，n2必须是3的倍数（易证）。如果想要(n1+n2+n3)也mod3=2，n3也得是3的倍数。归纳得要想(n1+n2+n3)同时满足mod3=2,mod5=3,mod7=2，必须有：

1. n1mod3=2 && 5|n1 && 7|n1
2. n2mod5=3 && 3|n2 && 7|n2
3. n3mod7=5 && 3|n3 && 5|n3

于是只需要在5,7的倍数中找一个mod3=2的作为n1，在3,7的倍数中找一个mod5=3的作为n2，在3,5的倍数中找一个mod7=2的作为n3即可。解决这个小问题孙子又用了一个小技巧。就是不是先找mod3=2的，而是先找mod3=1的再把它乘2自然它就mod3=2了。其他两个同理。问题转为：如何在a,b的倍数当中找到一个modp=1的数。
事实上，这个问题是很好解决的。由逆元的性质得a·inv(a)=1（modp），因此令r=a·b,r·inv(r)就是一个满足要求的数，因为它是a,b的倍数，而且r·inv(r)=1(modp)
逆元的常见求法为①费马小定理：(mod p，p必须是质数) inv(n)=pow(n,p-2)%p②由于n·inv(n)=1(mod p)⇒n·inv(n)+p·k=1（k为一参量），由exgcd解得inv(n)，p不需要是质数
在多数题目中并未限定p为质数因此求解中国剩余定理问题时必须使用②求逆元

这解决了“找一个”的问题，但没有解决“最小”。其实很好解决，因为你看lcm(b1,b2,...,bn)其实大于它的其实就相当于从头开始数了，以前数的不会影响余数的，所以把“找到的”模上lcm就得到“最小的”。

将以上解法推广到n个余数问题，事实上就是求解一个同余方程组（\(\forall i\ne j,\gcd(b_i,b_j)=1\)）：

\[\begin{equation} x≡a_1(\mod b_1)\\ x≡a_2(\mod b_2)\\ \vdots\\ x≡a_n(\mod b_n) \end{equation} \]

而它的解法就是：

1. 求出 \(M=\prod_{i=1}^n b_i\)，记\(M_i=\frac{M}{b_i}\)
2. 将\(ans+=M_i\times inv(M_i)\times a_i\)，\(ans\%=lcm(b)\)

https://www.luogu.com.cn/problem/P3868

【注】使用exCRT 可以解决所有CRT问题。