欧拉函数的两种求法、线性筛、筛法求欧拉函数
这里有交题地址（筛法求欧函）link
- 单次
\[\varphi(n)=n\prod_{p|n}(1-\frac{1}{p})
\]
p不重复取
int phi(int n){
if(n==1)return 1;
int ret=n,nn=n;
for(int i=2;i*i<=nn;i++)if(nn%i==0){
ret=ret-ret/i;
while(nn%i==0)nn/=i;
}
if(nn>1)ret=ret-ret/nn;
return ret;
}
- 积性
\[a,b互质，则\varphi(ab)=\varphi(a)\varphi(b)\\
p为质数，p|n，当p^2|n时，\varphi(n)=\varphi(n/p)p，当p^2\nmid n时，\varphi(n)=\varphi(n/p)(p-1)\\
第二行也就是：质数p，若p,q互质，则\varphi(pq)=\varphi(p)\varphi(q)，否则\varphi(pq)=p\varphi(q)
\]
- 线性筛
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int v[100000005],prime[100000005];
int main()
{
//ios::sync_with_stdio(false);
int n,q,k,m=0;
cin>>n>>q;
v[1]=1;
for(int i=2;i<=n;i++){
if(!v[i]) prime[++m]=i;
for(int j=1;j<=m;j++){
if(i*prime[j]>n) break;
v[i*prime[j]]=1;
if(i%prime[j]==0) break;
}
}
while(q--){
cin>>k;
cout<<prime[k]<<endl;
}
return 0;
}
- 筛法求欧拉函数
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=1e6;
int prime[N+5],eul[N+5],v[N+5];
int main()
{
int m=0;
v[1]=eul[1]=1;
for(int i=2;i<=N;i++){
if(!v[i]){
prime[++m]=i;
eul[i]=i-1;
}
for(int j=1;j<=m;j++){
if(prime[j]*i>N) break;
v[prime[j]*i]=1;
if(i%prime[j])
eul[prime[j]*i]=eul[prime[j]]*eul[i];
else {
eul[prime[j]*i]=(eul[prime[j]]+1)*eul[i];
break;
}
}
}
int T,n;
cin>>T;
while(T--){
cin>>n;
cout<<eul[n]<<endl;
}
}
- 若 \(n=p_1^{e_1}p_2^{e_2}...p_k^{e_k}\)，则约数个数 = \(\prod(e_i+1)\)，约数和 = \(\prod_{i=1}^k\sum_{j=0}^{e_i}p_i^j=\prod_{i=1}^k\dfrac{1-p_i^{e_i+1}}{1-p_i}\)
- 约数个数 \(d(n)\)，约数和 \(\sigma(n)\)，莫比乌斯函数 \(\mu(n)\) 都是积性函数
