KMP
这一篇居然是错的！情急之下，先背板子吧！
nxt[1]=0;
for(int i=2,j=0;i<=m;i++){
while(j&&t[i]!=t[j+1])j=nxt[j];
if(t[i]==t[j+1])j++;
nxt[i]=j;
}
for(int i=1,j=0;i<=n;i++){
while(j&&(j==m||s[i]!=t[j+1]))j=nxt[j];
if(s[i]==t[j+1])j++;
if(j==m)return 1;
}
口诀
5行先设nxt[1]=0
先2后1j为0
某i不等j+1
一改不等j为nxt
只需再加j==m
- 5行KMP
- 下标1开始
nxt[1]=0i=2,j=0;i<=mj&&[i]!=[j+1]j=nxt[j][i]==[j+1]nxt[i]=ji=1,j=0;i<=nj&&(j==m||s[i]!=t[j+1])
简介
KMP 之所以叫 KMP，是因为它是由三个人，Knuth、Morris、Pratt，联合发表的。它的功能是求出一个模式串 \(t\) 在文本串 \(s\) 中每次出现的位置。当然字符串哈希能以相近的复杂度求出同样的信息，但 KMP 还是会稍快一些，并且在一些情况下可以做到哈希不好办到的事情。
在此声明，本文中的字符串从 \(0\) 开始编号。
求解
共分为两大部分：
- 对 \(t\) 本身求出它的每个长度为 \(i\) 的前缀 \(t'\)，找到最长的字符串 \(t''\)（\(t''\neq t'\)，使得它同时是 \(t'\) 的前缀和后缀。这个值记为 \(next_i\)。
- 在 \(s\) 中找到每次 \(t\) 出现的位置。
递推法求 \(next\) 数组
令 \(next_0=-1\)。
假想我们已经知道了 \(next_{0\sim i-1}\)，现在想要知道 \(next_i\)。我们从 \(next_{i-1}\) 着手。那么就是 \(t_{0\sim i-2}\) 的前 \(i-1\) 个字符和后 \(i-1\) 个字符相等，这时如果在这两个前缀后缀的后面再加上一个相等的字符，两个前缀后缀依然是相等的，也就是说，当 \(t_{next_{i-1}=t_{i-1}}\) 时，\(next_i=next_{i-1}+1\)。下面讨论不相等的情况。这时找到 \(next_{next_{i-1}}\)，也就是 \(t_{1\sim next_{i-2}}\) 的最长前缀后缀，为了叙述方便，我们把 \(next_{next_{i-1}}\) 记为 \(x(i-1)\) 那么那个后缀就可以平移到 \(t_{0\sim i-1}\) 的后 \(x(i-1)\) 个字符那里，这时在两个长度为 \(x(i-1)\) 的前缀后缀之后看看加上的字符是否相等，如果相等那么答案就是此时前缀后缀的长度，如果不是就继续观察长度为 \(next_{x(i-1)}\) 的前缀后缀……如果直到最后还无法找到一组相等的前缀后缀，而且 \(t_{0\sim i-1}\) 的第一个和最后一个字符也不相同，那么 \(next_i\) 就只能等于 \(next_0+1=-1+1=0\) 了。
< Code >
string s,t;
cin>>s>>t;
int n=s.length(),m=t.length();
next[0]=-1;
for(int i=1;i<=m;i++){
int j=next[i-1];
while(j>=0 && t[j]!=t[i-1]) j=next[j];
next[i]=j+1;
}
寻找出现位置
假想我们在某一时刻，已经确定了 \(t_{0\sim j-1}\) 与 \(s_{i\sim i+j-1}\) 匹配，而此时发现 \(t_j\neq s_{i+j}\)，怎么办？朴素想法是放弃这一次尝试，把 \(t\) 往后移动一位，让 \(t\) 跟下一个 \(s\) 的子串进行匹配，但是这样我们的总复杂度就是 \(O(|s|\cdot|t|)\) 了，多高啊！我们可不可以想办法让 \(i\) 直接跳过一大块绝对不可能跟 \(t\) 匹配的位置，来到一个有可能的地方呢？当然可以。因为 \(t\) 的前面 \(len=j\) 段是跟 \(s\) 匹配的，那么也就是说这一段的一个后缀是可以天衣无缝地压到 \(s\) 上的，这时如果把一个等长的前缀压到这个后缀上，且这两个前缀后缀是相同的，那么就只需要比较前缀之后的 \(t\) 跟 \(s\) 的匹配关系，复杂度减低很多，那么什么长度的前缀后缀可以满足，而且是 \(t\) 从左向右的移动过程中第一个可以满足的位置呢？那就是 \(next_j\) 了，此时相当于直接把 \(t\) 向右移动 \(j-next_j\) 位。现在考虑一个问题，如果 \(t\) 可以完全在某个位置跟 \(s\) 匹配那还要移动它吗？肯定还是要移的，移动的位数同理是 \(next_{|t|}\)。
< Code >
for(int i=0,j=0;i<n-m+1;){
while(j<m && s[i+j]==t[j]) j++;
if(j==m) cout<<i<<endl;
i+=j-next[j];
if(j!=0) j=next[j];
}
最小循环节
学完模板，最小循环节也是很重要的一个知识点，如果一个串 \(t\) 在 \(s\) 内首尾相邻地出现连续次且刚好可以把 \(s\) 给全部覆盖完，那么 \(t\) 是 \(s\) 的循环节。我们发现，长为 \(L=|s|-next_{|s|}\) 的前缀一定是 \(s\) 的最小循环节；如果 \(|s|\bmod L=0\)，则 \(t\) 刚好可以覆盖完 \(s\)，否则需要加上 \(t\) 的 一部分才可以完全匹配。自己推导一下就可以明白这个道理。
