笔记 - 随笔分类 - pengyule

CF1693D Decinc Dividing——值域有连续性的 dp 通用分治策略

摘要：这个分治策略其实跟整体二分差不多，但是它的应用面比较单一和具有针对性。通常是

d p_{1}, d p_{2}, d p_{3}, . . ., d p_{n}

$dp_1,dp_2,dp_3,...,dp_n$ 只有

O (d)

$O(d)$ 段。然后我们通过分治来看

d p_{i} = v

$dp_i=v$ 的应该是哪一段。 ``` def solve(l,r) if dp(l)==dp(r) fill dp( 阅读全文

posted @ 2023-06-07 21:30 pengyule 编辑

CF1824D LuoTianyi and the Function & 区间历史和模板

摘要：LuoTianyi and the Function： LuoTianyi gives you an array

a

$a$ of

n

$n$ integers and the index begins from

1

$1$ . Define

g (i, j)

$g(i,j)$ as follows: When

i \leq j

$i\le j$ 阅读全文

posted @ 2023-05-12 18:35 pengyule 编辑

动态图连通性小记

摘要：由于我不会 LCT，所以所有动态图连通性问题只能分治解决。大众版本的线段树分治已经具有比较强的扩展性。但是今天做 Communication Towers 时发现了一篇老博客，其中介绍了一种在一些方面上更具扩展性的另类线段树分治算法（因为其更加接近于暴力）。首先是“加边-删边-连通块个数”的普阅读全文

posted @ 2023-05-12 08:03 pengyule 编辑

LGV 引理笔记

摘要：给定一个有向图

G = (V, E)

$G=(V,E)$ ，大小相同的起点集合

A

$A$ 和终点集合

B

$B$ （

A, B \subseteq V, | A | = | B | = n

$A,B\subseteq V,|A|=|B|=n$ ），每条路径的权值为路径上的边权乘积。定义一个路径组为一组

n

$n$ 条从

A

$A$ 中某点到

B

$B$ 中某点的路径，使得路径两两没有公共节点，且

2 n

$2n$ 个点各属于阅读全文

posted @ 2023-03-19 20:41 pengyule 编辑

鞅的停时定理随笔

摘要：鞅的核心性质对于一个随机过程

A_{0}, A_{1}, . . ., A_{t}

$A_0,A_1,...,A_t$ ，

\forall n \in [0, t)

$\forall n\in[0,t)$ ，

E (Φ (A_{n + 1}) - Φ (A_{n}) ∣ A_{0}, A_{1}, . . ., A_{n}) = - 1

$E(\Phi(A_{n+1})-\Phi(A_n)\mid A_0,A_1,...,A_n)=-1$ 。

∣

$\mid$ 后表示

A_{0} . . . A_{n}

$A_0...A_n$ 已经确定时来推。 $E(t)=\Phi(A 阅读全文

posted @ 2023-01-31 21:45 pengyule 编辑

ACSX 11 月专题训练：图论

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posted @ 2022-11-15 18:25 pengyule 编辑

与单位圆内接三角形的心有关的平面几何常识

摘要：单位圆上给出

(\cos θ_{1}, \sin θ_{1}), (\cos θ_{2}, \sin θ_{2}), . . ., (\cos θ_{n}, \sin θ_{n})

$(\cos\theta_1,\sin\theta_1),(\cos\theta_2,\sin\theta_2),...,(\cos\theta_n,\sin\theta_n)$ 这

n

$n$ 个互不相同的点，任选三个构成三角形，求解问题。【例1】九点圆圆心的期望科普：九点圆是指三边阅读全文

posted @ 2022-11-10 17:21 pengyule 编辑

Trick: 树上点边容斥

摘要：核心观点：

n

$\bm n$ 个点的树上点亮的灯构成的连通块个数 = 点亮的点数 - 两端都点亮的边数。关键词：灯，连通块，点亮的点数，两端都点亮的边数。用途：将不方便统计的“连通块个数”转化为易于统计的“点亮的点数”和有办法统计的“两端都点亮的边数”。相关博文【例1】（广铁一中模拟赛·2022 阅读全文

posted @ 2022-10-13 09:46 pengyule 编辑

概率 dp 学习笔记

摘要：期望/概率 dp 是一类比较难推导的 dp，主要就难在思维。概率 dp 的一个要点是：需要从终状态到始状态倒序推导，不然会 WA，原因见此。 Part 6.5 概率与期望修改自——StudyingFather's Blog P5104 红包发红包 P1850 换教室 P4550 收集邮票 P38 阅读全文

posted @ 2022-10-09 21:59 pengyule 编辑

容斥与计数

摘要：集合计数容斥入门。考虑交集大小一定至少为 k 的答案，那么首先是 C(n,k)，选出 k 个元素；其次是看包含这 k 个元素的集合有多少个，为

2^{n - k}

$2^{n-k}$ 个，接下来是从这些集合中选任意个（0 个除外），所以是

2^{2^{n - k}} - 1

$2^{2^{n-k}}-1$ 种选法；所以 k 时的答案就是 $C(n,k 阅读全文

posted @ 2022-10-07 13:40 pengyule 编辑

小记：整数划分dp

摘要：【问题引入】求

|

$\LARGE{|}$

$ $ x_{1}, x_{2}, . . . ∣ x_{i} \in [1, K], \sum x_{i} = N $ $

$\large{{}$ ${x_1,x_2,...}\mid x_i\in[1,K],\sum x_i=N$ $\large{}}$

|

$\LARGE{|}$ （其中

x_{1}, x_{2}, . . .

${x_1,x_2,...}$ 为可重集。我们发现最终的划分可以表示为一个阶梯的形状，如下：阅读全文

posted @ 2022-10-05 15:17 pengyule 编辑

ACSX 讲课：字符串、根号分治和动态规划 | bonus: tricks

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posted @ 2022-10-04 22:13 pengyule 编辑

支配树

摘要：对于任意两个点

u, v

$u, v$ ，若从源点出发到达顶点

v

$v$ 的所有路径都需要经过顶点

u

$u$ ，则称顶点

u

$u$ 支配顶点

v

$v$ 。特别地，每个顶点支配其自身。对于任意一个点

v

$v$ ，我们将图中支配顶点

v

$v$ 的顶点集合称为

v

$v$ 的受支配集

D_{v}

$D_v$ 。支配树是这样一棵树，它的点集为原图点集阅读全文

posted @ 2022-10-04 18:49 pengyule 编辑

ACSX 讲课：贪心和图论

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posted @ 2022-10-03 19:58 pengyule 编辑

李超树学习笔记

摘要：1 [HEOI2013]Segment 每个点有一个标记，标记是一条线段。对于一次线段的插入，考虑当前的线段树区间 [l,r]，假如它完全包含于定义域 [L,R]，则考虑比较 [l,r] 的标记线段与插入线段的关系，如下图：交点要么

\in [l, m i d]

$\in [l,mid]$ ，要么 $\notin[l,mid] 阅读全文

posted @ 2022-10-01 23:12 pengyule 编辑

set 扫描线维护平面线段位置关系 & [WC2012]记忆中的水杉树

摘要：欺骗 STL。做完写。为什么会 WA 95pts，难以理解。没时间调了，硬着头皮写吧。题目的第二问要求我们构造一种合法方案。首先发现一个性质，就是完全可以让 q 全部都是同一方向（不妨令朝上(1)），必然存在一条自由的线段可以率先移除，然后就一点一点移走了。这其中有一种拓扑型的关系，不难发现。阅读全文

posted @ 2022-09-26 14:10 pengyule 编辑

杜教筛

摘要：没时间了，记几个公式好了。令

S (n) = \sum_{i = 1}^{n} f (i)

$S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)$ ，则

g (1) S (n) = \sum_{i = 1}^{n} (f g) (i) - \sum_{i = 2}^{n} S (⌊ \frac{n}{i} ⌋)

$g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(fg)(i)-\sum_{i=\bm 2}^nS(\lfloor\frac ni\rfloor)$ 。 e.g. $f=\mu,S(n)=\sum_{i=1}^n(\mu1 阅读全文

posted @ 2022-09-22 19:03 pengyule 编辑

莫比乌斯反演

摘要：莫比乌斯函数当

\exists p > 1, p^{2} | n

$\exists p>1,p^2|n$ 时，

μ (n) = 0

$\mu(n)=0$ ，否则设

n

$n$ 的本质不同质因数个数为

k

$k$ ，

μ (n) = (- 1)^{k}

$\mu(n)=(-1)^k$ 。 μ(n) 的线性筛递推求法 //μ(n)和d(n)（约数个数函数）的线性推法 for(int i=2;i<=5e4;i++){ if( 阅读全文

posted @ 2022-09-07 22:16 pengyule 编辑

线段树3 线段树优化建图

摘要：线段树优化建图可以用

O (\log n)

$O(\log n)$ 的时间做到将一个点向一个区间内所有点连边。它不能直接做到将一个区间内所有点向一个区间内所有点连边。如果需要做到，则需要将区间等价变形成若干点，使得这些点的答案合并起来恰好是区间的答案。要做到这一点，需要根据具体题目发现性质。怎么优化建图呢？将区间转成阅读全文

posted @ 2022-08-03 20:25 pengyule 编辑

平面分治（补）

摘要：之前没写过吗，补一下。【模板】平面最近点对分治处理

s o l v e (l, m i d), s o l v e (m i d + 1, r)

$solve(l,mid),solve(mid+1,r)$ ，令

d =

$d=$ 两者较小值，则只需要考虑和

m i d

$mid$ 横向距离

< d

$<d$ 的点。将长条虚线区间内的点按纵坐标排序，只有纵向距离

< d

$<d$ 的点对才是有用的。枚举

i

$i$ ，枚举到 $j 阅读全文

posted @ 2022-07-29 16:39 pengyule 编辑

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