关于晶格动量和坐标算符
修改——2022-02-09
修改——2021-03-17
在自由空间中，可定义粒子的空间平移算符和动量平移算符，即\(\text{e}^{-\frac{\text{i}}{\hbar} \hat{p}x_0}\)和\(\text{e}^{-\frac{\text{i}}{\hbar} \hat{x}p_0}\)，分别对应位置本征态和动量本征态的升降。在晶格中不存在连续的空间平移对称性，但存在晶格平移对称性，且晶格平移算符的本征态就是Bloch函数，于是可以把该算符\(\tilde{p}\)定义为
\[\langle n'{\bf p}'|\tilde{\bf p}|n{\bf p}\rangle=\delta_{nn'}\delta({\bf p}'-{\bf p}){\bf p}'
\]
上式通过规定了该算符在Bloch态之间的矩阵元，定义了该算符。通过上式，考虑到Bloch函数正交性也可以将其写为
\[\tilde{{\bf p}}=\sum_n\int\text{d}^3{\bf p}|n{\bf p}\rangle {\bf p}\langle n{\bf p}|
\]
考虑坐标算符\(\bf x\)在Bloch态之间的矩阵元\(\langle n{\bf k}|{\bf r}|l{\bf q}\rangle\)，利用坐标表象计算得到
\[\langle n{\bf k}|{\bf r}|l{\bf q}\rangle=\int\text{d}^3{\bf r} \exp[\text{i}({\bf q}-{\bf k})\cdot {\bf r}]u^*_n({\bf k},{\bf r}){\bf {r}}u_l({\bf q},{\bf r})
\]
我们将波矢量\(\mathbf{k}\)视为准连续的，利用积分号外求导，上式右端可以写为
\[\frac{1}{\mathrm{i}}\nabla_\mathbf{q}\int\mathrm{d}^3\mathbf{r}\exp[\mathrm{i}(\mathbf{q}-\mathbf{k})\cdot\mathbf{r}]u_n^*(\mathbf{k},\mathbf{r})u_l(\mathbf{q},\mathbf{r})+\mathrm{i}\int\mathrm{d}^3\mathbf{r}\exp[\mathrm{i}(\mathbf{q}-\mathbf{k})\cdot\mathbf{r}]u_n^*(\mathbf{k},\mathbf{r})\nabla_\mathbf{q}u_l(\mathbf{q},\mathbf{r})
\]
第一项中的积分就是\(\langle n \mathbf{k}|l\mathbf{q}\rangle\), 至于第二项中的积分，注意到\(u_n^*(\mathbf{k},\mathbf{r})\nabla_\mathbf{q}u_l(\mathbf{q},\mathbf{r})\)是正空间的周期函数(尽管是对\(\mathbf{k}\)求导，但因为\(u_l(\mathbf{q},\mathbf{r})\)的周期和\(\mathbf{q}\)无关，所以仍关于\(\mathbf{r}\)是周期函数)，于是该积分可以视为周期函数的傅里叶变换。众所周知，周期函数的傅里叶变换为一组梳状脉冲的叠加，但考虑到\((\mathbf{k}-\mathbf{q})\)的取值范围，仅有一个\(\delta\)函数被保留。于是第二项可整理为
\[X_{nl}(\mathbf{k})\delta(\mathbf{q}-\mathbf{k})
\]
其中
\[X_{nl}({\bf k})=\text{i}\frac{(2\pi)^3}{\Omega}\int\text{d}^3{\bf r}u_n^*({\bf k},{\bf r})\nabla_{\bf k}u_l({\bf k},{\bf r})
\]
\(\Omega\)为元胞体积。于是我们得到
\[\langle n{\bf k}|{\bf r}|l{\bf q}\rangle=\text{i}\delta_{nl}\nabla_{\bf k}\delta({\bf k}-{\bf q})+X_{nl}({\bf k})\delta({\bf k}-{\bf q})
\]
令第一项所对应的算符为\(\tilde{\bf r}\)（这里以矩阵元形式给出），可以变换到Wannier表象来分析。利用表象变换的矩阵元
\[\langle b'{\bf k}|b{\bf R}\rangle=\frac{\sqrt{\Omega}}{(2\pi)^{3/2}}\text{e}^{-\text{i}{\bf k}\cdot{\bf R}}\delta_{bb'}
\]
可得
\[\begin{aligned}
\langle b'\mathbf{R}'|\tilde{\bf r}|b \mathbf{R}\rangle&=\sum_{nl}\int\mathrm{d}^3\mathbf{q}\int\mathrm{d}^3\mathbf{k}\langle b'\mathbf{R}'|n\mathbf{k}\rangle\langle n\mathbf{k}|\tilde{\bf r}|l\mathbf{q}\rangle\langle l\mathbf{q}|b\mathbf{R}\rangle\\
&=\mathrm{i}\delta_{bb'}\frac{\Omega}{(2\pi)^3}\int\mathrm{d}^3\mathbf{q}\int\mathrm{d}^3\mathbf{k}[\nabla_\mathbf{k}\delta(\mathbf{k}-\mathbf{q})]\exp[\mathrm{i}(\mathbf{k}\cdot \mathbf{R}'-\mathbf{q}\cdot \mathbf{R})]\\
&=\delta_{bb'}\frac{\Omega}{(2\pi)^3}\mathbf{R}'\int\mathrm{d}^3\mathbf{q}\exp[\mathrm{i}\mathbf{q}\cdot(\mathbf{R}'-\mathbf{R})]
\\&=\delta_{bb'}\delta_{\mathbf{R}\mathbf{R}'}\mathbf{R}
\end{aligned}
\]
最后，利用Wannier态的正交归一性，上式可以写为
\[\tilde{\bf r}=\sum_{b,{\bf R}}|b,{\bf R}\rangle{\bf R}\langle b,{\bf R}|
\]
[1] 高等量子力学. 喀兴林
[2] [Article] The crystal momentum as a quantum mechanical operator, J CHEM PHYS 21, 2013 (1953).
[3] [Article] Relation between position and quasi-momentum operators in band theory, J. Phys. France 50 (1989)
[4] Joseph Callaway, Quantum theory of the solid state (1991), Chapter 6.
