维纳-辛钦 (Wiener–Khinchin) 定理

光学里面，维纳-辛钦定理讲的是光场的能量谱密度和光场的一阶相干函数之间的关系。

先规定傅里叶变换为\(F(\omega)=\int f(t)\exp(i\omega t)\text{d}t\)，反变换为\(f(t)=\frac{1}{2\pi}\int F (\omega)\exp(-i\omega t)\text{d}t\).

按此定义，帕塞瓦尔等式就是

\[\int_{-\infty}^\infty|f(t)|^2\text{dt}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty|F(\omega)|^2\text{d}\omega \]

上式左端表征着信号的能量。

对于分布在区域\(V\)内的光场，其能量有电场部分和磁场部分的贡献。设电场部分表达式为\(E(\vec{r},t)\)，于是电场部分的能量密度为\(\frac{1}{2}\epsilon_0 |E|^2\)；而磁场贡献和电场相等，于是总能量密度为$$\epsilon_0|E|^2$$ 注意，这里并未取空间平均（只研究固定空间的一点），也没有对时间取平均。

通过帕塞尔瓦等式可得，处于\(\omega\)到\(\omega+\Delta\omega\)之间的电磁场的能量密度(这里密度仅仅对空间，不对频率)为

\[\epsilon_0\frac{1}{2\pi}\int_{\omega}^{\omega+\Delta\omega}|F(\omega)|^2\text{d}\omega \]

或者说\(\frac{\epsilon_0}{2\pi}|F(\omega)|^2\)是电磁场的能量密度(这个密度既对空间，也对频率)，其中\(F(\omega)\)是\(E(\vec{r},t)\)的傅里叶变换。因此有电磁场能量的空间、频率密度为

\[W=\frac{\epsilon_0}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}E(t')E^*(t)\text{e}^{i\omega (t'-t)}\text{d}t\text{d}t' \]

引入变量\(\tau=t'-t\)则上式变为

\[W=\frac{\epsilon_0}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}E^*(t)E(t+\tau)\text{e}^{i\omega \tau}\text{d}t\text{d}\tau \]

利用一阶相干函数的定义

\[G^{(1)}(t,t+\tau)=\langle E^*(t)E(t+\tau)\rangle=\int_{-\infty}^\infty E^*(t)E(t+\tau)\text{d}t \]

假设场是(广义)平稳的复随机过程，则\(G^{(1)}(t,t+\tau)=G^{(1)}(\tau)\)，因此

\[W=\frac{\epsilon_0}{2\pi}\int^\infty_{-\infty}G^{(1)}(\tau)\text{e}^{i\omega t}\text{d}t \]

又因为\(G^{(1)}(-\tau)=G^{(1)*}(\tau)\)，从而上式可以改写为

\[W=\text{Re} \frac{\epsilon_0}{\pi}\int^\infty_{0}G^{(1)}(\tau)\text{e}^{i\omega t}\text{d}t \]

这就叫做维纳-辛钦定理。其实这里的推导是不严谨的，因为这里的出发点是对一个确知信号的傅里叶变换及其功率谱密度，而不是一个平稳随机过程的功率谱密度。严谨的证明梗概如下：先定义平稳随机过程中任一样本函数的功率谱密度，再求其系综平均得到该随机过程的功率谱密度，以此为出发点证明其和相关函数的关系。详见文献[2]第1.6节。

对于量子情形，则直接把一阶相干函数换成量子光学的版本。注意\(G^{(1)}(-\tau)=G^{(1)*}(\tau)\)依然成立。

对于Scully量子光学书上\(\S9.3\)的式\((9.3.11)\)，真正的能量谱密度应该再此基础上乘以\(\mathcal{E}^2\epsilon_0\)，而\(\mathcal{E}=\sqrt{\hbar\nu/(\epsilon_0V)}\)，所以应该乘上一个\(\hbar\nu/V\)，再取消对体积的密度(即乘以\(V\))，得到的能量谱密度(仅对频率的密度)应该是在\((9.3.11)\)基础上乘以\(\hbar\nu\). 因为能量谱密度=模式密度*一个模式平均占据数*一个光子的能量，因此该能量谱密度除以\(\langle n\rangle\hbar\nu\)就是模式密度，因此\((9.3.12)\)式是对的。

参考
[1] Loudon. The quantum theory of light 3rd (2000).
[2] 高新波. 随机信号分析 (2009).
[3] Scully. Quantum optics (1997).