广义势能函数和带电粒子在电磁场中的运动
根据广义力的定义$$Q_\alpha=\sum^n_{i=1}\boldsymbol{F}i\cdot\frac{\partial \boldsymbol{r}i}{\partial q\alpha}$$在保守场中可以由\(\boldsymbol{F}_i=-\nabla_iV\)得出\(Q_\alpha=-\frac{\partial V}{\partial q_\alpha}\)，从而将从达朗贝尔原理导出的$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial T}{\partial \dot{q}\alpha}\right)-\frac{\partial T}{\partial q_\alpha}=Q_\alpha\tag{\(1\)}$$化为拉格朗日方程（因为保守场的势能函数\(V\)仅仅是广义坐标的函数）$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}\alpha}\right)-\frac{\partial L}{\partial q\alpha}=0\tag{\(2\)}$$
上面拉格朗日方程是势能函数仅仅为广义坐标的函数的情况。需要注意的是，由达朗贝尔原理得来的\((1)\)式其实不局限于保守场。现在考虑对于非保守场的情况，这时势能函数不仅是广义坐标的函数，还可能是广义速度的函数。这就需要引入广义势能函数\(U\)作为广义坐标和广义速度的函数，来代替原来的只是广义坐标的势能函数\(V\)。这时，注意到，根据广义力的定义式，经过一系列的变形，如果最终能写成如下形式$$Q_\alpha=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial U}{\partial \dot{q}\alpha}\right)-\frac{\partial U}{\partial q\alpha}\tag{\(3\)}$$则拉格朗日方程$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}\alpha}\right)-\frac{\partial L}{\partial q\alpha}=0$$仍然成立，等式两边是恒等的，其中\(L=T-U\)。也就是说，如果引入的广义势能函数\(U\)的结构是恰当的，以至于根据广义力定义式计算、变形能得到\((3)\)式的形式，则拉格朗日方程\((2)\)式成立，只需把新函数\(U\)当做势能（\(L=T-U\)）。
大多数情况下，为了\((3)\)式中广义力\(Q_\alpha\)中不显含广义加速度（为什么？可能因为力学系统完全由某时刻全部的位置、速度决定，而与更高阶导数无关），广义势能函数中只能包含广义速度的一次项和零次项，不包含广义速度更高次项，即$$U=\sum^s_{\alpha=1}U_\alpha(q,t)\dot{q}_\alpha+U_0(q,t)$$
单带电粒子在电磁场中的情形下（仅仅把带电粒子视为试探电荷，不考虑辐射反作用力之类的），洛伦兹力公式给出受力情况$$\boldsymbol{F}=e(\boldsymbol{E}+\boldsymbol{v}\times\boldsymbol{B})$$其中$$\boldsymbol{B}=\nabla\times\boldsymbol{A} \ \boldsymbol{E}=-\nabla\varphi-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}$$而\(\varphi(\boldsymbol{r},t)\)和\(\boldsymbol{A}(\boldsymbol{r},t)\)为场的标势和矢势。用标势和矢势表示两个场，得到$$\boldsymbol{F}=-\nabla(e\varphi-e\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{v})+\frac{d}{dt}\nabla_{\boldsymbol{v}}(e\varphi-e\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{v})$$先试探地定义广义势能函数$$U(q,\dot{q},t)=e\varphi-e\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{v}$$这时，根据广义力的定义，广义力为$$Q_\alpha=\sum^n_{i=1}\boldsymbol{F}i\cdot\frac{\partial \boldsymbol{r}i}{\partial q\alpha}=-\nabla U\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q\alpha}+(\frac{d}{dt}\nabla_{\boldsymbol{v}}U)\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_\alpha}\=-\nabla U\cdot\frac{\partial\boldsymbol{r}}{\partial q_\alpha}+(\frac{d}{dt}\nabla_{\boldsymbol{v}}U)\cdot\frac{\partial\dot{\boldsymbol{r}}}{\partial \dot{q}\alpha}=\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial U}{\partial \dot{q}\alpha}\right)-\frac{\partial U}{\partial q_\alpha}$$正好符合\((3)\)式，因此这个广义势能函数的结构是恰当的，所以拉格朗日方程$$\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}\alpha}\right)-\frac{\partial L}{\partial q\alpha}=0$$成立，其中\(L=T-U=\frac{1}{2}mv^2-(e\varphi-e\boldsymbol{A}\cdot\boldsymbol{v})\).
