质点碰撞和卢瑟福公式

质点的分裂与两个参考系

对于一个质点（粒子）因为内能而自发分裂为两个质点，在原质点静止系中看，分裂后两个质点动量等大反向，系统质心仍然静止（因此这个参考系称为质心系，或者C系）。至于能量关系，则有$$E_{int}=E^{{(1)}_{int}+\frac{p_0}2}{2m_1}+E^{{(2)}_{int}+\frac{p_0}2}{2m_2}$$其中\(m_1,m_2\)是分裂后两个质点各自质量，\(p_0\)是分裂后两个质点的动量大小（在C系中的物理量都使用下标0）。分裂前后系统的内能差值为$$\varepsilon=E_{int}-E^{{(1)}_{int}-E}_{int}=\frac{p_0^2}{2m}$$其中\(m\)为约化质量\(m=\frac{m_1m_2}{m_1+m_2}\)。

若在另一个参考系中看待这个问题，设分列前质点以速度\(\boldsymbol{V}\)在该系中运动（称之为实验室系，或L系），则有\(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{V}+\boldsymbol{v}_0\)，即$$v^2+V2-2vV\cos{\theta}=v^2_0$$ \(\theta\)为L系中质点相对于\(\boldsymbol{V}\)飞出的角度（L系中的物理量不加额外的下标）。根据\(v_0\)和\(V\)的大小关系，有两种情况：

上图只展示了一个剖面，整体具有圆柱对称性，应该把圆心当做球坐标系的原点，把横的直径当做\(z\)轴（从左向右），这样\(\theta\)就正好是球坐标系中的\(\theta\)。
当\(V<v_0\)时，质点在L系中的速度\(\boldsymbol{v}\)可以沿着任意方向（\(\theta\)可取\([0,\pi]\)之间任意值）；但如果\(V>v_0\)，则质点在L系中的速度\(\boldsymbol{v}\)方向有限制，\(\theta\)存在一个最大值\(\theta_{max}\)，\(\sin\theta_{max}=v_0/V\)。

引入C系和L系以后，有必要研究\(\theta_0\)和\(\theta\)的关系。由正弦定理$$\frac{v_0}{\sin{\theta}}=\frac{V}{\sin[\pi-\theta-(\pi-\theta_0)]}=\frac{V}{\sin\theta_0\cos\theta-\cos\theta_0\sin\theta}$$化简得到$$\tan\theta=\frac{v_0\sin\theta_0}{V+v_0\cos\theta_0}$$这告诉我们，知道了\(\theta_0\)就可以得到\(\theta\)的值；但是如果\(V>v_0\)则一个\(\theta\)有两个\(\theta_0\)与之对应。

弹性碰撞

弹性碰撞是指两个质点碰撞前后不改变其内部状态（系统内能不变，机械能守恒）。假设碰撞前两个质点在C系中的速度分别为\(\boldsymbol{v}_{10},\boldsymbol{v}_{20}\)，在L系中速度分别为\(\boldsymbol{v}_1,\boldsymbol{v}_2\)，并令\(\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_1-\boldsymbol{v}_2\)，则有$$\boldsymbol{v}{10}=\frac{m_1}{m_1+m_2}\boldsymbol{v}\\boldsymbol{v}=-\frac{m_2}{m_1+m_2}\boldsymbol{v}$$在C系中根据动量守恒，碰撞后（碰撞前也是）两个质点动量等大反向，再根据动能守恒（弹性碰撞），总动能不变（从而速度平方不变）。综上，在C系中的碰撞相当简单：两个质点仅各自旋转了速度的方向，速度大小保持不变。注意碰撞后速度的方向是不一定的。碰撞后的量加上撇号，则有$$\boldsymbol{v'}_{10}=\frac{m_1}{m_1+m_2}v\hat{\boldsymbol{n}}0\\boldsymbol{v'}=-\frac{m_2}{m_1+m_2}v\hat{\boldsymbol{n}}_0$$其中\(\hat{\boldsymbol{n}}_0\)是碰撞后某个质点的速度方向的单位矢量。分别给上式乘以\(m_1,m_2\)则有动量关系$$\boldsymbol{p}'_1=mv\hat{\boldsymbol{n}}_0+\frac{m_1}{m_1+m_2}(\boldsymbol{p}_1+\boldsymbol{p}_2)\\boldsymbol{p}'_2=-mv\hat{\boldsymbol{n}}_0+\frac{m_2}{m_1+m_2}(\boldsymbol{p}_1+\boldsymbol{p}_2)$$其中\(m\)还是约化质量。令矢量\(\hat{\boldsymbol{n}}_0\)沿着\(OC\)，以\(mv\)为半径作圆如下图\((o)\)所示，
矢量\(\vec{AC},\vec{CB}\)分别给出\(\boldsymbol{p}'_1,\boldsymbol{p}'_2\)。而且\(\vec{OC}=m\boldsymbol{v},\vec{AO}=\frac{m_1(\boldsymbol{p}_1+\boldsymbol{p}_2)}{m_1+m_2},\vec{OB}=\frac{m_2(\boldsymbol{p}_1+\boldsymbol{p}_2)}{m_1+m_2}\)。

通常会着重考虑一个质点原先静止的情况。设质点\(m_2\)原先静止，则由上式，\(\vec{OB}=m\boldsymbol{v}\)，即\(B\)点位于圆周上。这时根据\(m_1,m_2\)大小关系，分\((a),(b)\)两种情况（见上图）。由于\(m_2\)静止，不论是哪种情况，\(\vec{OC}\)（即\(\hat{\boldsymbol{n}}_0\)）指向C系中\(m_1\)的碰撞后动量方向，从而\(\chi\)是C系中\(m_1\)的偏转角。\(\theta_1,\theta_2\)是在L系中\(m_1,m_2\)两个质点偏离\(\boldsymbol{p}_1\)方向的角度。显然这三个角度之间存在某种关系：在上图的小三角形中，对\(\theta_1\)分别使用正余弦定理，再相除，可以得到$$\tan\theta_1=\frac{m_2\sin\chi}{m_1+m_2\cos\chi}\tag{\(1\)}$$而直接观察可得另一个式子$$\theta_2=\frac{\pi-\chi}{2}\tag{\(2\)}$$根据其中三角形关系，还可以得到\(\chi\)和碰撞后速度大小的关系。\(\theta_1+\theta_2\)是L系中两个质点碰撞后飞出方向的夹角，当\(m_1<m_2\)时如\((a)\)所示，飞出方向的夹角大于\(\pi/2\)，反之小于\(\pi/2\)。
当\(m_1<m_2\)时如\((b)\)所示，碰撞后\(m_1\)飞出的方向是可以取到任意方向；而\(m_1>m_2\)时，碰撞后的\(m_1\)飞出方向不能取到任意方向，有一个最大\(\theta_1\)角，由图\(\sin\theta_{1max}=OC/OA=m_2/m_1\)。

前面已经假设\(m_2\)初始静止，常常再作进一步的假设：（1）正碰，即\(\chi=\pi\)和（2）两个质点质量相等。对于（1），碰撞后质点速度分别为$$\boldsymbol{v}'_1=\frac{m_1-m_2}{m_1+m_2}\boldsymbol{v}\\boldsymbol{v}'_2=\frac{2m_1}{m_1+m_2}\boldsymbol{v}$$这时\(\boldsymbol{v}'_2\)取得最大值，或者说\(m_2\)获得最大动能（直径是最长的弦）。对于（2），点\(A,B\)都位于圆周上如下图

这时\(\theta_1=\chi/2,\theta_2=(\pi-\chi)/2\)且\(v'_1=v\cos\frac{\chi}{2},v'_2=v\sin\frac{\chi}{2}\)，两质点飞出方向互相垂直。

二体问题和有心力场

二体问题的等效，思想是把两个质点的运动分解为质心的运动和两个质点相对于质心的运动。系统拉格朗日函数为$$L=\frac{m_1\dot{\boldsymbol{r}}_1^{2}{2}+\frac{m_2\dot{\boldsymbol{r}}_2}2}{2}+U(|\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2|)$$引入矢量\(\boldsymbol{r}=\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\)，然后将坐标原点放置在质心\(m_1\boldsymbol{r}_1+m_2\boldsymbol{r}_2=0\)。由前面两个式子可得$$\boldsymbol{r}_1=\frac{m_2}{m_1+m_2}\boldsymbol{r}\\boldsymbol{r}_2=-\frac{m_1}{m_1+m_2}\boldsymbol{r}$$也就是说这时\(\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2\)和\(\boldsymbol{r}\)都是成比例关系。将得到的\(\boldsymbol{r}_1,\boldsymbol{r}_2\)代入系统的拉格朗日函数，得到新的拉格朗日函数非常简单，仅仅关于\(\boldsymbol{r}\)及其导数$$L=\frac{m\dot{\boldsymbol{r}}^2}{2}-U(r)$$其中\(m\)为约化质量。

由此对于一个二体问题，可以直接将其等效为一个单质点在有心力场中的运动。对于单质点在有心力场中的运动，质点的轨道必然位于一个平面内。在轨道平面中，以力心为原点，设\(\varphi,\theta\)来描述质点。拉格朗日函数为$$L=\frac{m}{2}(\dot{\boldsymbol{r}}^2+r2\dot{{\varphi}}^2)-U(r)$$它不显含\(\varphi\)，所以\(\varphi\)是循环坐标，即其对应的广义动量\(\partial L/\partial \dot{\varphi}=mr^2\dot{\varphi}\)是运动积分，有$$mr^{2\dot{\varphi}=M=\text{const}$$（从而$\varphi$是单调变化的）从上式反解出$\dot{\varphi}$代入机械能中，得到$$E=\frac{m}{2}(\dot{r}}2+r^{2\dot{\varphi}}2)+U(r)=\frac{m\dot{r}^{2}{2}+\frac{M}2}{2mr^{2}+U(r)$$反解出$\dot{r}$为$$\dot{r}=\frac{dr}{dt}=\pm\sqrt{\Bigg|\frac{2}{m}[E-U(r)]-\frac{M}2}{m^2r2}\Bigg|}\tag{\(*\)}$$观察能量的表达式，发现上式中绝对值内恒为正。仅取\(+\)号，对该一阶微分方程分离变量有$$t=\int\frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}[E-U(r)]-\frac{M^2}{m2r^2}}}$$这给出\(r\)随时间\(t\)的关系。

另一方面，因为\(\dot{\varphi}=d\varphi/dt=M/mr^2\)，联立\((*)\)式消去\(dt\)得$$\varphi=\int\frac{M/r^{2}{\sqrt{2m[E-U(r)]-M}2/r^2}}dr\tag{\(**\)}$$这给出\(\varphi\)和\(r\)的关系，即轨道方程。

继续观察能量的表达式，发现如果把\(M^2/2mr^2+U(r)\)合并为一个有效势能\(U_\text{eff}(r)\)，则问题转化为一个一维运动。如果存在\(r_0\)使得\(E=U_\text{eff}(r_0)\)成立，则\(r\)经过点\(r_0\)时，\((*)\)式中\(\dot{r}=0\)，即\(r\)的单调性发生变化，所以\(r_0\)为该等效一维运动的转折点。类似地，因为质点的能量是给定的，对于一个给定的能量，不等式\(E\geqslant U_\text{eff}(r)\)可能会约束\(r\)只取某个区间\([r_\text{min},r_\text{max}]\)中的值，这时运动是有界的。但这并不意味着轨道的曲线是闭合曲线。只有两种类型的有心力场，其中的一切有界运动的轨道是封闭的，这两种场的势能分别正比于\(1/r\)和\(r^2\)（各向同性谐振子和万有引力）。

假设\(\dot{r}\)在\(r=r_0\)点由正变负，则不妨设\(r_0\)处\(\varphi=0\)（通过调整积分常数），这样\(\dot{r}>0\)时的轨道方程为\(\varphi=\int^r_{r_0}F(r)dr\)，而\(\dot{r}<0\)时的轨道方程为\(\varphi=\int^r_{r_0}-F(r)dr\)，对于同一个\(r\)值，\(\varphi\)仅仅相差一个负号，所以说轨道关于直线\(\varphi=0\)对称。

质点散射

关于碰撞和散射的区别，个人认为没有什么本质区别。不过听上去碰撞这个词字面上听上去似乎更加指那种有接触、短程作用的情形，而散射这个词听上去似乎指没有接触、长程作用的情形。

由于二体问题可以等效，所以两个质点之间的散射可以只考虑一个有心力场\(U({r})\)，而质点\(m\)在其中偏转。由于有心力场中质点的运动轨道关于过中心和轨道近心点的直线对称（下图中的\(OA\)），所以轨道两条渐近线和该直线夹角相同（记为\(\varphi_0\)）。图中\(O\)为力心，\(\rho\)称为瞄准距离，图中所示的是斥力的散射，引力也可以散射。

根据轨道方程\((**)\)式，\(\varphi_0\)是一个从图中\(A\)点（近心点\(r_{min}\)）到无穷远处的一个积分$$\varphi_0=\int_{r_{min}}^{\infty\frac{M/r}2}{\sqrt{2m[E-U(r)]-M^2/r2}}dr$$利用能量守恒和角动量守恒，在无穷远处有\(E=mv_\infty^2/2,M=m\rho v_\infty\)代入上式的积分中得到$$\varphi_0=\int^{\infty_{r_{min}}\frac{\rho/r}2}{\sqrt{1-\rho^2/r2-2U/mv_\infty^2}}dr$$该式是关于\(\varphi_0\)和瞄准距离\(\rho\)的，又因为偏转角\(\chi=|\pi-2\varphi_0|\)，所以根据瞄准距离就能得到偏转角大小。

通常考虑一束以相同的速度\(\boldsymbol{v}_\infty\)入射的全同质点，束中不同的质点有不同的瞄准距离，从而以不同的偏转角\(\chi\)散射。引入\(dN\)表示单位时间内偏转角在\(\chi\)到\(\chi+d\chi\)之间的粒子数目。很明显，发射器的单位面积发射的粒子数越多，\(dN\)越大，两者正比关系。因此为剔除发射器的影响，只考虑散射场的影响，引入有效散射截面\(d\sigma=dN/n\)，其中\(n\)是入射粒子束单位横截面积的粒子数目（也就是发射的“强度”）。假设\(\chi\)和\(\rho\)之间是一一对应的，则瞄准距离在\(\rho(\chi)\)到\(\rho(\chi+d\chi)=\rho(\chi)+d\rho(\chi)\)之间的入射粒子会被散射进入\(\chi\)到\(\chi+d\chi\)之间，这样的粒子数目等于\(n\)乘以内外半径为\(\rho\)和\(\rho+d\rho\)圆环的面积，即\(dN=2n\pi\rho d\rho\)。所以有效散射截面为\(d\sigma(\chi)=2\pi\rho(\chi) d\rho(\chi)\)。

上面求出了有效散射截面，但是是关于\(\rho\)的，可以将其改成关于\(\chi\)的（取绝对值是排除\(\rho(\chi)\)单调性的影响；假设函数\(\rho(\chi)\)是单值函数，否则应对各个分支求和）$$d\sigma(\chi)=2\pi\rho(\chi)\Bigg|\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}\Bigg|d\chi$$进一步，我们常用立体角\(\Omega\)而不是\(\chi\)来表达，\(\chi\)到\(\chi+d\chi\)对应的立体角元\(d\Omega(\chi)=2\pi\sin\chi d\chi\)（该立体角元已经对方位角积分过了），因此$$d\sigma(\chi)=\frac{\rho(\chi)}{\sin\chi}\Bigg|\frac{d\rho(\chi)}{d\chi}\Bigg|d\Omega(\chi)$$如果把右边的\(d\Omega\)除到左边来，就是散射后的粒子在空间中的分布。

以上是质心系中的情况（因为在二体问题的等效中，坐标原点位于质心），\(\chi\)是质心系中的散射角。回到在实验室系中，一个质点静止另一个质点入射的情形，则上面的散射角\(\chi\)需要经过\((1),(2)\)两个式子的变换，把散射后粒子在空间的随\(\chi\)分布情况（C系）转化为随\(\theta_1\)的分布情况（L系）。

卢瑟福公式

卢瑟福公式讲的就是两个带电粒子是如何散射的。还是二体问题，等效一下。则等效问题中的势函数\(U(r)=a/r\)，\(a\)可正可负。利用前面的轨道方程的通式（先对\(1/r\)积分）可得$$\rho^2=\frac{a2}{m^2v_\infty4}\tan^{2\varphi_0=\frac{a}2}{m^2v_\infty4}\cot^{2\frac{\chi}{2}$$上式两端求导，然后代入有效散射截面公式中，得到卢瑟福公式$$d\sigma=\left(\frac{a}{2mv_\infty}2}\right)^{2\frac{1}{\sin}4(\frac{\chi}{2})}d\Omega$$但是这个卢瑟福公式是在质心系中的情况。至于在实验室系中的情况，利用\((2)\)式的变换可得初始静止粒子的散射分布$$d\sigma_2=\left(\frac{a}{mv_\infty^2}\right)2\frac{1}{\cos^3\theta_2}d\Omega_2$$利用\((1)\)式的变换可得到入射粒子的散射分布，但形式复杂，常常考虑两种特殊情况：（1）入射粒子质量\(m_1\)相对很小；（2）两个粒子质量相等。

对于（1）情形，可以直接使用中心力场代替粒子\(m_2\)，卢瑟福公式不变。对于（2）情形，\(m_1=m_2\)，由三角形几何关系可得\(\chi=2\theta_1\)，所以$$d\sigma_1=\left(\frac{a}{E_1}\right)^{2\frac{\cos\theta_1}{\sin}4\theta_1}d\Omega_1$$其中\(E_1\)是入射粒子的初始动能。