欧拉五边形数定理小记

欧拉五边形数定理（Pentagonal number theorem）

约定

\[\phi(x)=\prod_{n=1}^{\infty}(1-x^n) \]

描述

\[\begin{aligned} \phi(x)&=\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^kx^{k(3k-1)/2}\\ &=1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k(x^{k(3k-1)/2}+x^{k(3k+1)/2}) \end{aligned} \]

证明（wikipedia）

考虑 \([x^n]\phi(x)\) 应该为 \(n\) 的分拆中偶数部分拆个数减去奇数部分拆个数，且这些分拆内的数是各不相同的。

我们考虑如何去掉一些显然会被抵消的分拆。因此考虑构造部分奇数分拆和偶数分拆的双射。

对于分拆考虑菲勒示图（Ferrers diagram）。

对于一个大多数情况下的示图：

0000000
000000
0000
000

考虑记其最下方的一行的点个数记为 \(m\)，集合记为 \(M\)；以及右上方从第 \(1\) 行开始长度连续严格减 \(1\) 的行数为 \(s\)，集合记为 \(S\)。上面的示图中分别有如下归属：

000000S
00000S
0000
MMM
m=3,s=2

考虑若 \(m\le s\)，我们去掉 \(M\)，并在前 \(m\) 行均多加入一个点；否则我们去掉 \(S\)，在最后新加入一行，长度为 \(s\)。

容易证明在我们假定的通常情况下这个操作是互逆的。当去掉 \(M\) 时，新的 \(s'\le s\) 而一定有 \(m'>m\)。当去掉 \(S\) 时，新的 \(s'\ge s\) 而一定有 \(m'=s\)。

发现当 \(M\cap S = \empty\) 时这个总是成立的，而且会改变分部（行数）的奇偶。

考虑例外：

0000S
000S
MM?
m=s

这时我们并不知道 \(?\) 处的具体归属，而且对这个示图进行操作既不能改变行数的奇偶也不满足逆操作的要求，因此这个分拆一定要计入答案。此时这个示图对应为 \(n\) 的分拆，其中 \(n\) 满足：

\[n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots+(2m-1)=\frac{m(3m-1)}{2} \]

它的系数应该为 \((-1)^m\)，因为是一个 \(m\) 部拆分。

00000S
0000S
MMM?
m=s+1

这个分拆同样不满足改变行数奇偶和逆操作的要求，因此也要计入答案。

此时对应为 \(n\) 的分拆，其中 \(n\) 满足：

\[n=m+(m+1)+(m+2)+\cdots+(2m-2)=\frac{(m-1)(3m-2)}{2} \]

它的系数应该为 \((-1)^{m+1}\)。

\(m>s+1\)，容易发现虽然不能使用通常的证明但因为上下界已经分讨掉了，因此仍然满足双射以及一系列性质。

end.

根据上述的分讨，可以通过枚举 \(m\) 做和式表示出 \(\phi(x)\)。

稍加整理就可以得到描述中给出的式子：

\[\begin{aligned} \phi(x)&=\sum_{k=-\infty}^\infty (-1)^kx^{k(3k-1)/2}\\ &=1+\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k(x^{k(3k-1)/2}+x^{k(3k+1)/2}) \end{aligned} \]

\(\Box\)

性质

记 \(p(n)\) 为 \(n\) 的分拆数，对应的母函数为 \(P(x)\)。

记 \(g\) 表示所有 \(\{k(3k-1)/2\mid(k\ne0)\}\) 构成的有序无穷数列，特别地，\(g_0=0\)。

\(g=(0,1,2,5,7,12,\cdots)\)

会发现其对应的 \(k\) 依次为 \(1,-1,2,-2,3,-3,\cdots\)，这个是五边形数的定义，即 \(\texttt{petagonal number}\)。

而这个五边形数存在一个非常美妙的定理。

考虑因为：

\[\phi(x)=\prod_{k=1}^\infty (1-x^k) \\ P(x)=\prod_{k=1}^\infty (1-x^k)^{-1} \]

因此有：

\[\phi(x)P(x)=1 \]

而后我们得到了递推式：

\(p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)\cdots\)

更加公式化，即为：

\[p(n)=\sum_{k\ne 0}(-1)^{k-1}p \left( n-\frac{k(3k-1)}{2}\right) \]

（假设 \(\forall x<0:p(x)=0\)）

会发现有用的 \(k\) 的取值一定是 \(\sqrt n\) 这个量级的，因此我们在 \(O(\sqrt n)\) 的时间复杂度内可以通过 \(p(0),p(1),\cdots,p(n-1)\) 计算出 \(p(n)\)，对于类似的式子我们也可以这样算。