置换小记

前言

一直想学了。

发现自己什么都不会/kk。

置换

\[f=\left( \begin{matrix} 1&2&3&\cdots&n \\ i_1&i_2&i_3&\cdots&i_n \end{matrix} \right) \]

\(i\) 构成的数列是一个排列。这样就得到一个映射 \(f\)，其中 \(f(x)=i_x\)。

同时定义乘法，\(g\circ f\) 表示先经过 \(f\) 的映射再经过 \(g\) 的映射：

\[\begin{aligned} g\circ f&= \left( \begin{matrix} 1&2&3&\cdots&n \\ g(1)&g(2)&g(3)&\cdots&g(n) \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} 1&2&3&\cdots&n \\ f(1)&f(2)&f(3)&\cdots&f(n) \end{matrix} \right)\\ &= \left( \begin{matrix} f(1)&f(2)&f(3)&\cdots&f(n) \\ g(f(1))&g(f(2))&g(f(3))&\cdots&g(f(n)) \end{matrix} \right) \circ \left( \begin{matrix} 1&2&3&\cdots&n \\ f(1)&f(2)&f(3)&\cdots&f(n) \end{matrix} \right)\\ &= \left( \begin{matrix} 1&2&3&\cdots&n \\ g(f(1))&g(f(2))&g(f(3))&\cdots&g(f(n)) \end{matrix} \right) \end{aligned} \]

考虑到更多项：

\[(f_1\circ f_2\circ f_3)(x)=f_1(f_2(f_3(x)))\\ \]

往上都是类似的。我们可以记录 \(f\circ f=f^2\) ，往上类似。会发现这个显然满足结合律。

定义恒等置换 \(\iota,\iota(i)=i\)。

有了乘法自然可以定义逆元，因此有 \(f\circ f^{-1}=\iota\)，会发现显然每个置换的逆唯一，因此 \(f^{-1}\circ f=\iota\)。

逆元唯一使得其满足消去律：\(f\circ g=f\circ h \Leftrightarrow g=h\)。

于是我们可以很愉快地定义置换群：

对于一些长度为 \(n\) 的互不相同的置换构成的集合 \(G\)，满足：

1.封闭性：\(\forall f,g\in G，f\circ g\in G\)。

2.单位元：\(\iota\in G\)。

3.结合律：乘法运算 \(\circ\) 显然满足结合律。

4.逆元：\(\forall f\in G,f^{-1}\in G\)。

则 \(G\) 为一个置换群。

着色

记 \(c=(c_1,c_2,\cdots,c_n)\) 表示一种着色方案，记 \(f*c=(c_{f^{-1}(1)},c_{f^{-1}(2)},\cdots,c_{f^{-1}(n)})\)，置换作用在着色上的意义实际上就是将 \(x\) 位置的颜色转移到 \(f(x)\) 处。

同时，我们会发现 \(f*(g*c)=(f\circ g)*c\)。

Burnside 引理 & Pólya 定理

考虑记录 \(C\) 为着色集合，\(G\) 为一个置换群。

称着色 \(c_1\) 和 \(c_2\) 本质不同，当且仅当 \(\nexists g\in G,c_1*g=c_2\)。

当然我们要求：\(\forall c\in C,g\in G,g*c \in C\)。

定义

\(C{(g)}=\{c\mid c\in C, g*c=c\}\)，是在 \(g\) 作用下不变的着色集合。

\(G{(c)}=\{g\in G, g\mid g*c=c\}\)，是作用在 \(c\) 上后使其不变的置换集合。

\(O(c)=\{x\mid \exists g\in G,g*c=x\}\)，是与 \(c\) 本质相同的着色集合。

\(N(G,C)\) 表示在置换群 \(G\) 的作用下，\(C\) 中本质不同的着色的个数。

1.1 - Orbit-Stabilizer（轨道-稳定子）定理

\[|O(c)|=\frac{|G|}{|G{(c)}|} \]

证明

考虑定义置换的二元等价关系 \(R^{(c)}\) ，如果 \(f,g\) 满足这个等价关系，则有：

\[f*c=g*c\Leftrightarrow (f^{-1}\circ g) *c = c\Leftrightarrow (f^{-1} \circ g\in G^{(c)}) \]

因此会发现对于 \(f\) ，满足 \(f*c=g*c\) 的 \(g\) 有且仅有 \(|G{(c)}|\) 个。

我们在 \(G\) 中划分等价类，实际上会划分出 \(\frac{|G|}{|G{(c)}|}\) 个不同的等价类，而每个等价类大小都为 \(|G{(c)}|\)。

而我们发现从每个等价类中任取一个置换 \(f\)，最终 \(\{f*c\}=E(c)\)。

因此有：

\[|O(c)|=\frac{|G|}{|G{(c)}|} \]

\(\Box\)

1.2 - Burnside 引理

\[N(G,C)=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G} |C{(f)}| \]

证明

考虑求 \(|\{(f,c)\mid f\in G,c\in C, f*c=c\}|\)。

显然等于下两式：

\[\sum_{c\in C} |G{(c)}|=\sum_{f\in G} |C{(f)}| \]

而上左式同时等于：

\[\sum_{c\in C} \frac{|G|}{|O(c)|} \]

因此有：

\[\sum_{c\in C} \frac{|G|}{|O(c)|}=\sum_{f\in G} |C{(f)}| \\ \sum_{c\in C} \frac{1}{|O(c)|}=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G} |C{(f)}| \]

而上左式会发现对于任意本质相同颜色的等价类都只会算一次（相当于是 \(\sum_{c\in O(c)}\frac{1}{|O(c)|}=1\)），因此左边等于 \(N(G,C)\)，因此有：

\[N(G,C)=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G} |C{(f)}| \]

\(\Box\)

2.1 - Pólya 定理

\[N(G,C)=\frac{1}{|G|}\sum_{f\in G} m^{\sigma (f)} \]

其中 \(\sigma (f)\) 表示 \(f\) 中的置换环个数。

证明

由 Burnside 引理，发现实际上 \(|C^{(f)}|\) 就是要求 \(f\) 中一个置换环上颜色相同，因此显然得到。

3.1 - Burnside 引理，带权

考虑本质相同的着色 \(c,c_1,c_2,\cdots\) 存在固定的权值 \(w(c)=w(c_1)=w(c_2)=\cdots\) 。

我们想要得到素有本质不同的着色的权值和。

有：

\[\begin{aligned} W =& \sum_{c\in C}\frac{w(c)}{|O(c)|} \\ =& \frac{1}{|G|}\sum_{c\in C}|G(c)|w(c) \\ =& \frac{1}{|G|}\sum_{c\in C}\sum_{g\in G(c)} w(c) \\ =& \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\sum_{c\in C(g)} w(c) \\ =& \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}w(C(g)) \end{aligned} \]

3.2 - Pólya 定理，带权积之和

定义每个颜色的权值为 \(w^{(t)}\)，一个着色 \(c=(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)\) 的权值是 \(w(c)=w^{(a_1)}w^{(a_2)}\cdots w^{(a_n)}\)。

于是有：

\[W=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\prod_{i=1}^n s_i^{\lambda_i(g)} \]

其中 \(s_i=\sum_{c\in C} (w^{(t)})^i\)，\(\lambda_i(g)\) 表示 \(g\) 中大小为 \(i\) 的轮换个数。

证明显然。

3.3 - Pólya 定理，带权和之和

定义每个颜色的权值为 \(w^{(t)}\)，一个着色 \(c=(a_1,a_2,a_3,\cdots,a_n)\) 的价值是 \(v(c)=w^{(a_1)}+w^{(a_2)}+\cdots +w^{(a_n)}\)。

考虑求出价值为 \(m\) 的着色个数，可以使用多项式：

我们实际上就是在求：

\[W_m = [x^m]\sum_{c\in C}\frac{x^{v(c)}}{|O(c)|} \]

而有：

\[\begin{aligned} W_m =& [x^m]\sum_{c\in C}\frac{x^{v(c)}}{|O(c)|} \\ =& \frac{1}{|G|}\sum_{c\in C}|G(c)|x^{v(c)} \\ =& \frac{1}{|G|}\sum_{c\in C}\sum_{g\in G(c)} x^{v(c)} \\ =& \frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\sum_{c\in C(g)} x^{v(c)} \\ =& [x^m]\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G}\prod_{i=1}^n s_i^{\lambda_i (g)} \end{aligned} \]

其中 \(\lambda\) 的定义同上，但是 \(s_i=\sum_{c\in C} x^{iw^{(t)}}\)。最后一步是显然的。