CW高中-C0452B

合集 - 题解(23)

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Problem

初始有一个空集合 \(S\)。需要维护两种操作：

1. 向集合中加入一个数 \(w\)，保证在这之前 \(w \notin S\)。
2. 给定 \(w\)，找到两个不同的数 \(i,j\in S\)，使得 \((i+x)\oplus(j+x)\) 的值最小， \(x\in [1,w]\)。其中 \(\oplus\) 表示按位异或。

来自 ZR 某年省选十连的 day5？

Solution

Task 1.

考虑对于 \(0\le a\le b\le c\) 有 \(a\oplus c \ge \min (a\oplus b,b\oplus c)\)。

因为对于 \(a\oplus c\) 的最高位的 \(1\)，\(a\oplus b\) 和 \(b\oplus c\) 中应该恰好有一个这位为 \(0\)，所以得证。

Task 2.

然后其次另外的就是 \(b-a\le b \oplus a\)。

显然，由异或的性质所以可以将其看作不进位的加法或者不补位的减法，所以得证。

然后我们用两个基本的 Task 来解决这个问题。

对于 Task 1.

可以知道 \(S\) 中的数一定只有相邻的数才有贡献。

对于 Task 2.

对于一个数对 \((i,j)\) 其实只有一些必要的 \(x\) 使得 \((i+x)\oplus(j+x)\) 最小，实际上就是考虑以 \(x\) 制出 \(f(x)=(i+x)\oplus(j+x)\) 这样一个函数，记录一个集合 \(X\) 为必要的 \(x\) 的集合，有 \(\forall x'<x:f(x')> f(x)\)。

实际上应该有 \(X\sube \{x|x=\min\{a|\mathrm{P}(a)\}\}\)，其中 \(\mathrm{P}(a):(2^k\mid (i+a)) \lor (2^k \mid (j+a)),k\in \N\)。

说人话就是 \(x\) 一定要满足一个条件就是 \((i+x)\) 或 \((j+x)\) 的后 \(k\) 位为 \(0\)，且 \(x\) 是满足前者的最小值。

考虑 \((i+x)\) 的后 \(k\) 位为 \(0\)。

这时如果 \(x\) 增加，\(j+x\) 产生了进位向 \(k+1\) 位，那么就考虑到 \(j+x\) 和后 \(k+1\) 位为 \(0\) 的情况。

否则考虑后 \(k\) 位，增加前的贡献应该是 \((j+x)\) 后 \(k\) 位，设为 \(y\)，增加后贡献应该是 \((x+\Delta x) \oplus (j+(x+\Delta x))\) 的后 \(k\) 位，设为 \(y'\)。根据 Task 2. 应该有 \(y\le y'\) 。

所以可以用 \(\textrm{set}\) 来维护相邻的贡献以及二元组 \((x,(i+x) \oplus(j+x))\)。

然后就完了，剩下的应该都会。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
inline int read (){
    int p = 0;
    char c = getchar ();
    while (c < '0' || c > '9')
        c = getchar ();
    while (c >= '0' && c <= '9'){
        p = (p << 1) + (p << 3) + c - 48;
        c = getchar ();
    }
    return p;
}
inline void write (int x){
    if (x > 9)
        write (x / 10);
    putchar (x % 10 + 48);
}
int V, Q;
set < int > pot;
set < pair < int , int > > plt;
void Push (int x, int v){
    auto it = plt.lower_bound (make_pair (x, 0));
    auto rit = it;
    if (rit != plt.begin ()){
        -- rit;
        if ((*rit).second <= v)
            return ;
    }
    for (auto iit = it;it != plt.end ();){
        ++ iit;
        if ((*it).second >= v)
            plt.erase (it ++);
        else
            break;
        it = iit;
    }
    if (it == plt.end () || (*it).first > x)
        plt.insert (make_pair (x, v));
}
void Add (int x, int y){
    Push (0, x ^ y);
    for (int i = 0, a;i <= V;++ i){
        a = (1ll << i) - (x & ((1ll << i) - 1ll));
        Push (a, (x + a) ^ (y + a));
    }
    for (int i = 0, a;i <= V;++ i){
        a = (1ll << i) - (y & ((1ll << i) - 1ll));
        Push (a, (x + a) ^ (y + a));
    }
}
signed main (){
    V = read (), Q = read ();
    for (int T = 1, opt, w;T <= Q;++ T){
        opt = read (), w = read ();
        if (opt == 2){
            auto it = plt.lower_bound (make_pair (w + 1, 0));
            -- it;
            write ((*it).second), puts ("");
        }
        if (opt == 1){
            auto it = pot.upper_bound (w);
            if (it != pot.end ())
                Add (w, *it);
            if (it != pot.begin ()){
                -- it;
                Add (*it, w);
            }
            pot.insert (w);
        }
    }
    return 0;
}