Kirchhoff 矩阵树定理的无向图情况

合集 - 算法竞赛相关(18)

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Kirchhoff 矩阵树定理的无向图情况

定义

无向图无自环。

设 \(G\) 为包含 \(n\) 个点，\(m\) 条边的无向图。

设 \(\deg(i)\) 表示顶点 \(i\) 的度数，\(E(i,j)\) 表示顶点 \(i\) 与 \(j\) 连边的条数。

记边 \(i\) 的起点为 \(x_i\)，终点为 \(y_i\)（这里对于无向图任意（因为不会有影响），这个定义在有向图中通用）

记图 \(G\) 的所有生成树个数为 \(t(G)\)。

度数矩阵 \(D\)：

\[D_{ij}(G)= \begin{cases} \deg(i) & i = j \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases} \]

邻接矩阵 \(A\)：

\[A_{ij}(G) = \begin{cases} E(i,j) & i \ne j \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases} \]

Laplace 矩阵（亦称 Kirchhoff 矩阵） \(L\)：

\[L(G) = D(G) - A(G) \]

关联矩阵 \(M\) 为大小 \(n \times m\) 的矩阵：

\[M_{ij}(G)= \begin{cases} 1 & i = x_j \\ -1 & i = y_j \\ 0 & \mathrm {otherwise} \end{cases} \]

减关联矩阵 \(M_0(G)\) 为关联矩阵 \(M(G)\) 去掉最后一行后的大小为 \((n-1) \times m\) 的矩阵。

子减关联矩阵 \(M_0(G)[S]\) 为选出 \(M(G)\) 的列构成子集 \(S\)，\(|S|=n-1,S\subseteq [1,m]\)。

\(L_0(G)\) 表示 \(L(G)\) 去掉最后一行和最后一列的 \(n-1\) 阶主子矩阵。

以下所有 \(L(G),D(G),A(G),M(G),M_0(G),L_0(G)\) 简记为 \(L,D,A,M,M_0,M_0[S],K_0\)

定理

\[\forall i\in [1,n]: t(G)=\det L \begin{pmatrix} 1&2&\cdots&i-1&i+1&\cdots&n \\ 1&2&\cdots&i-1&i+1&\cdots&n \\ \end{pmatrix} \]

其中：

\[L \begin{pmatrix} 1&2&\cdots&i-1&i+1&\cdots&n \\ 1&2&\cdots&i-1&i+1&\cdots&n \\ \end{pmatrix} \]

表示 \(L\) 去除第 \(i\) 行和第 \(i\) 列后的子矩阵。

相当于 \(L\) 的所有 \(n - 1\) 阶主子式均等于 \(t(G)\)。

证明

引理 1

\[MM^T=L \]

证

\[\begin{aligned} &(MM^T)_{ij}& \\ =&\sum_{k=1}^m M_{ik}M_{kj}^T& \\ =&\sum_{k=1}^m M_{ik}M_{jk} \end{aligned} \]

\[\Downarrow \]

\[(MM^T)_{ij}= \begin{cases} \deg(i) & i=j \\ - E(i,j) & \mathrm {otherwise} \end{cases} \]

引理 2

令 \(S\) 为原图的子边集，\(|S|=n-1\)，\(P(S)\) 表示事件： \(S\) 构成原图的生成树。

则有：

\[|\det M_0[S]|= \begin{cases} 1 & P(S) \\ 0 & \mathrm{otherwise} \end{cases} \]

证

TASK 1

若原图没有构成树，则存在简单环 \(C(e_{i_1},e_{i_2},\cdots,e_{i_k})\)。

对于 \(M_0[C]\)，考虑按环的一种遍历顺序重新排列，可以发现用前 \(k-1\) 列乘上 \(1\) 或 \(-1\) 后的和可以表出第 \(k\) 列（会发现环是否包含了第 \(n\) 行，都可以表出），故 \(M_0[C]\) 线性相关， \(\det M_0[C] = 0\)。

而 \(M_0[C]\) 是 \(M_0[S]\) 的子矩阵，故 \(\det M_0[S]=0\)。

TASK 2

若 \(S\) 构成树，则可以执行下面的操作：

• 找到一个叶子节点 \(u\) 。
• 会发现 \(u\) 对应行只有一列非 \(0\)。
• 在 \(M_0[S]\) 用这一行消去其他行（实际上只能消去与它相连的那个点）
• 无视这个点，从头开始继续做，直到只剩一个点。

最后会发现对 \(M_0[S]\) 做一些初等行变换中的交换（只改变正负号） 在 \(M_0[S]\) 只有主对角线上非 \(0\) 且全为 \(1\) 或 \(-1\)，故 \(|\det M_0[S]|=1\)。

引理 3 （Binet-Cauchy 定理）

定义大小为 \(n\times m\) 的矩阵 \(A,B\)，则：

\[\det(AB^T)=\sum_{S\subseteq \{1,2,\cdots,m\},|S|=n}\det(A[S])\det((B[S])^T) \]

其中 \(A[S],B[S]\) 定义与 \(M_0[S]\) 相同。

证

判断排列奇偶直接展开即可。

Main

根据引理 1 可知：

\[L=MM^T \]

\[\Downarrow \]

\[\det L_0 = \det M_0M_0^T \]

\[\Downarrow \]

\[\det L_0 = \det (M_0M_0^T) \]

根据引理 3 可知：

\[\det L_0 = \det (M_0M_0^T)=\sum_{S\subseteq {1,2,\cdots,m},|S|=n-1} \det(M_0[S]) \det((M_0[S])^T) \]

\[\Downarrow \]

\[\det L_0 = \sum_{S\subseteq {1,2,\cdots,m},|S|=n-1} (\det(M_0[S]))^2 \]

根据引理 2 可知：

• 若 \(S\) 构成生成树，\(|\det M_0[S]|=1\)，对原式贡献为 \(1\) 。
• 否则不构成生成树，对原式贡献为 \(0\)。

所以 \(\det L_0=t(G)\)。

可以发现，可以通过交换标号使得所有 \(n-1\) 阶主子矩阵成为 \(L_0\)。

即证。