2-SAT 问题入门

合集 - 算法竞赛相关(18)

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前言

1.本文在非代码部分用 \(T\) 代替 \(true\)，\(F\) 代替 \(false\)。

2.本文对于具体的问题解答，只涉及P4782 【模板】2-SAT 问题，其他类型（如连接符号为“与”、“异或”）暂不涉及。

3.请预习强连通相关知识。

4.本文中的“到达”和“可达”指由 \(i\) 点经过一些单向边后可以到达 \(j\) 点。

5.本文中的 \(\oplus\) 代表异或运算。

SAT（SATISFIABILITY）

中文名是布尔可满足性问题，又名命题可满足性问题。

本人不会。

2-SAT

目前只有 \(2-SAT\) 问题可以用非暴力方法解决。一般问题见P4782 【模板】2-SAT 问题。

一般来说， \(O(2^n)\) 的枚举做法适用于所有 \(SAT\) 问题，同样适用于 \(2-SAT\) 问题。但既然把 \(2-SAT\) 单独拿出来讲，那么这个问题一定就有更优的方法：就是在多项式时间复杂度中用图去解决。

考虑 \(2\) 这个数的性质，想像在C++语言下形似这些表达式的式子：

((! x[i]) && x[j]) == true   [1]
(x[i] || (! x[j])) == true   [2]
(x[i] ^ (! x[j])) == true    [3]

我们会发现，当知道 \(x_i\) 和 \(x_j\) 其中一个布尔变量的值时，我们就有可能将另一个值求出来（当然第一个的值可以直接推得）。

而在 \([2]\) 式中，若已知 $x_i= F $ 或 \(x_j = T\)，就可以得到另一个变量的值；但若已知 \(x_i=T\) 或 \(x_j=F\)，另一个变量就可以任取。

大家自己想一想 \([3]\) 式。

所以在本题中，我们就可以利用这一个性质进行问题的判断有无解以及求一个解。

具体解答

对于上文的性质以及所对应的约束条件，我们可以进行建图。

对于每个布尔变量 \(x_i\) 建立两个点 \(a_{i,0}\) 和 \(a_{i,1}\)，分别代表 \(x_i=F\) 和 \(x_i=T\) 这两种情况，而我们若连单向边 \(a_{p, 0} \to a_{q,1}\)，则表示：若 \(x_p = F\) 则 \(x_q = T\) （当然，如果：1.若 \(x_p=T\)，则我们不能通过这条边求出 \(x_q\) ；2.若 \(x_q=T\)， 我们也无法通过这条边求出 \(x_p\)）。

性质一

因为成立性的传递，所以若 \(a_{i,0}\) （即 \(x_i = F\)）成立且能够通过单向边到达 \(a_{j,0}\)，则 \(a_{j,0}\) （即 \(x_j=F\)）必须成立，否则原表达式组不成立。

性质二

当：由 \(a_{i,0}\) 可以到达 \(a_{i,1}\) 且由 \(a_{i,1}\) 可以到达 \(a_{i,0}\) 时，原表达式组不成立。

因为很显然，\(a_{i,0}\) 的情况（即 \(x_i = F\)） 和 \(a_{i,1}\) 的情况（即 \(x_i=T\)）有且只有一个会成立。

当满足上述条件时，要么两个条件都满足，否则就都不满足。这显然与我们的要求和实际不符合。

性质三

本问题的建图具有对称性，即：若存在边 \(a_{p, 0} \to a_{q,1}\)，则一定存在 \(a_{q,0} \to a_{p,1}\)。扩展结论，可得：若 \(a_{p,0}\) 可达 \(a_{q,1}\)，则 \(a_{q,0}\) 可达 \(a_{p,1}\)。

我们可以通过对原表达式分析得出这个结论。

性质四

在有解的情况下，若 \(a_{i,0}\) 能够到达 \(a_{i,1}\)，那么 \(a_{i,1}\) 一定成立。

Tarjan 缩点解决

观察性质一和二，很容易想到缩点后进行某些操作来求解。

当然，若 \(a_{i,0}\) 和 \(a_{i,1}\) 被缩进一个点中，则原表达式组不成立。

然后，我们就得到了一个简单有向无环图。

这时感性理解一下，缩点后的图仍然满足对称性（比较显然）。

这是我们可以对新图进行拓扑排序。

就算有不同的拓扑序，总有一个很神奇的性质：

性质五（极其重要）

设：

\(a_{i,p}\) 的拓扑序为 \(f(a_{i,p})\)。

引理：

此时对于原表达式组一定有解，且对于任意拓扑序都有其中一组解满足：

若 \(f(a_{i,0})<f(a_{i,1})\) 则 \(a_{i,0}=T,x_i = F\)，否则 \(a_{i, 1}=T,x_i = T\)。

证：

设存在 \(a_{i,p}, a_{i,p \oplus 1},a_{j,q},a_{j,q \oplus 1}\)。

又不妨设：

\[f(a_{i,p})<f(a_{i,p \oplus 1}), f(a_{j, q}) < f(a_{j,q \oplus 1}) \]

根据原命题，所以：

\[a_{i,p}=a_{j,q}=T,a_{i,p\oplus 1}=a_{j,q\oplus 1}=F \]

分类讨论：

一、

\(a_{i,p\oplus 1}\) 不可达 \(a_{j, q}\)。

由性质三可知，一定有 \(a_{j,q\oplus 1}\) 不可达 \(a_{i, p}\)。

1.\(a_{i,p\oplus 1}\) 不可达 \(a_{j,q\oplus 1}\)：

所以 \(a_{j,q}\) 不可达 \(a_{i,p}\)。

所以没有约束关系，这部分正确。

2.\(a_{i,p\oplus 1}\) 可达 \(a_{j, q\oplus 1}\)：

所以 \(a_{j,q}\) 可达 \(a_{i, p}\)。

我们知道 \(a_{i,p}=a_{j,q}=T,a_{i,p\oplus 1}=a_{j,q\oplus 1}=F\)，所以满足条件。

二、

\(a_{i,p\oplus 1}\) 可达 \(a_{j,q}\)。

由性质三可知，一定有 \(a_{j,q\oplus 1}\) 可达 \(a_{i,p}\)。

因为 \(a_{i,p\oplus 1}\) 可达 \(a_{j,q}\)，所以：

\[f(a_{j,q})>f(a_{i,p\oplus 1}) \]

因为 \(a_{j,q\oplus 1}\) 可达 \(a_{i,p}\)，所以:

\[f(a_{i,p})>f(a_{j,q\oplus 1}) \]

因为 \(f(a_{i,p})<f(a_{i,p\oplus 1})\)，所以：

\[f(a_{j,q\oplus 1})<f(a_{i,p})<f(a_{i,p\oplus 1})<f(a_{j,q}) \]

这与我们规定的 \(f(a_{j,q})<f(a_{j,q\oplus1})\) 冲突，故这种情况不成立。

三、

\(i,j\)可交换，如上同理，成立。

故对于任意 \(i,j\) 都满足条件。

即证。

然后我们利用这个性质，就可以解决构造解的问题了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int n, m, x, y, a, b;
int firs[2000005], nex[2000005], to[2000005], tot;
int idx, dfn[2000005], low[2000005], sta[2000005], top, cnt, bel[2000005];
bool vis[2000005];
void Add (int u, int v){
	++ tot;
	nex[tot] = firs[u];
	firs[u] = tot;
	to[tot] = v;
}
int G (int i, int j){
	return i + j * n;
}
void Tarjan (int u){
	if (dfn[u])
		return ;
	dfn[u] = low[u] = ++ idx;
	sta[++ top] = u;
	vis[u] = true;
	for (int e = firs[u];e;e = nex[e]){
		int v = to[e];
		if (! dfn[v]){
			Tarjan (v);
			low[u] = min (low[u], low[v]);
		} else
		if (vis[v])
			low[u] = min (low[u], dfn[v]);
	}
	if (dfn[u] == low[u]){
		int v;
		++ cnt;
		do {
			v = sta[top --];
			bel[v] = cnt;
			vis[v] = false;
		} while (u != v);
	}
}
int main (){
	scanf ("%d%d", &n, &m);
	for (int i = 1;i <= m;++ i){
		scanf ("%d%d%d%d", &x, &a, &y, &b);
		Add (G (x, a ^ 1), G (y, b));
		Add (G (y, b ^ 1), G (x, a));
	}
	for (int i = 1;i <= (n << 1);++ i)
		Tarjan (i);
	for (int i = 1;i <= n;++ i)
		if (bel[G (i, 0)] == bel[G (i, 1)]){
			printf ("IMPOSSIBLE\n");
			return 0;
		}
	printf ("POSSIBLE\n");
	for (int i = 1;i <= n;++ i)
		printf ("%d ", (int) (bel[G (i, 1)] < bel[G (i, 0)]));
	return 0;
}