【笔记】一个很简单的题

设 $u$ 是多项式 $x^3-6x^2+9x+3$ 的一个实根。
（1） 求证 $[\Q(u):\Q]=3$

（2）用 $1,u,u^2$ 线性表出 $(u+1)^{-1}$

（1）显然直接 Eisenstein 判别一下，发现是 $\Q$ 中不可约的，于是扩张次数就等于多项式的次数。

（2）已知 $u^3-6u^2+9u+3=0$ 所以直接变量替换一下得到

$$(u+1)^3 - 9(u+1)^2+24(u+1)-13=0$$

于是可以得到 $(u+1)^{-1} = \frac{1}{13}(u^2-7u+16)$