【笔记】一个很简单的题

设 \(u\) 是多项式 \(x^3-6x^2+9x+3\) 的一个实根。
（1） 求证 \([\Q(u):\Q]=3\)

（2）用 \(1,u,u^2\) 线性表出 \((u+1)^{-1}\)

（1）显然直接 Eisenstein 判别一下，发现是 \(\Q\) 中不可约的，于是扩张次数就等于多项式的次数。

（2）已知 \(u^3-6u^2+9u+3=0\) 所以直接变量替换一下得到

\[(u+1)^3 - 9(u+1)^2+24(u+1)-13=0 \]

于是可以得到 \((u+1)^{-1} = \frac{1}{13}(u^2-7u+16)\)