【笔记】Burnside 引理

（轨道公式） $$|G| = |G_x| \cdot |O_x|$$

对于 $G$ 在 $\Omega$ 上的群作用，$\forall x \in \Omega$，定义 $O_x := \{g(x) \mid g\in G\}$，称为 $x$ 的 $G$-轨道。定义 $G_x:=\{g\in G \mid g(x) = x\}$，称为 $x$ 的稳定子群，它的确是 $G$ 的子群。

而轨道有如下性质:

• $\forall x,y \in \Omega$，要么轨道相同，要么无交；

• $\Omega$ 能写成轨道的不交并；

• 若 $\Omega$ 是有限集，则 $|\Omega| = \sum_{i=1}^{t} |O_{x_i}|$。其中 $x_i$ 是各个轨道的代表元。

  第一个性质其实就定义了一个等价关系，类似陪集，自然可以对整个集合进行分解，也就可以推出后两条结论。特别地，如果在作用 $G$ 下只有一条轨道，则称这个作用是可迁的（transitive） 。

  那么轨道公式如何证明呢？想法就是构造同态 $O_x \to G/G_x$，然后证明这是一个同构即可。

Lemma (Burnside) 设 $\Omega,G$ 都是有限集，有 $G$ 在 $\Omega$ 上的群作用。记 $t$ 是 $\Omega$ 的 $G$-轨道条数，则

$$t = \frac{1}{|G|} \sum_{g\in G} F_g$$

其中 $F_g$ 是在 $g$ 作用下的不动点个数。

证明：考虑满足一个二元组集合 $\Gamma := \{(x,g) \mid x\in\Omega,g\in G,gx=x\}$。若固定 $g$，对其计数有 $|\Gamma| = \sum_{g\in G} F_g$；若固定 $x$，对其计数有 $|\Gamma| = \sum_{x\in\Omega} G_x = |G|\sum_{x\in \Omega} \frac{1}{|O_x|} = t|G|$。于是证毕。