【笔记】大一下数值分析碎碎念——函数逼*

$\newcommand\op[1]{\operatorname{#1}}$

$\newcommand\d\mathrm{d}$

$\newcommand\mat[1]{\begin{pmatrix} #1\end{pmatrix}}$

函数逼*

我们可以定义多项式的范数。

• 一致逼*：

$$||f(x)-P(x)||_\infty=\max|f(x)-P(x)|$$

• 均方逼*/*方逼*：

$$||f(x)-P(x)||_2 = \sqrt{\int_a^b[f(x)-P(x)]^2 \op{d} x}$$

最佳一致逼*/切比雪夫（Chebyshev）逼*

定义，若

$$|P(x_0)-f(x_0)|=\max_{a\le x \le b}|P(x)-f(x)|=\mu$$

则称 $x_0$ 是 $P(x)$ 的偏差点。

Th3.3 $P(x)$ 必定同时存在正负偏差点。

定理（不会证明）：

取点 $x_i = \cos \frac{(2i-1)\pi}{2n}$ 可使得误差最小：$\frac{1}{2^{n-1}}$

消除龙格现象

切比雪夫多项式

Def: $T_n(x) = \cos (n \arccos x)$

性质：有递归关系：

$$T_0(x)=1,T_1(x)=x\\ T_{n+1}(x)=2xT_n(x)-T_{n-1}(x)$$

• 最高次项系数为 $2^{n-1}$
• $T_n(1)=1,T_n(-1)=(-1)^n$，在 $[-1,1]$ 绝对值小于等于 $1$。
• $T_n(x)$ 的零点为

$$x_i = \cos \frac{(2i-1)\pi}{2n}$$

且它的值在 $-1$ 到 $1$ 之间变化 $n+1$ 次，极值点分别为：

$$x_i=\cos \frac{i\pi}{n}$$

区间变化

通过线性变换可以把 $[-1,1]$ 推广到任意区间 $[a,b]$。

误差项变为 $(b-a)^n/2^{n-1}$。

最佳*方逼*

正交基

$\{\varphi_i\}$ 为区间 $[a,b]$ 上的关于权函数 $w(x)$ 正交集合函数，若

$$\int_a^b w(x)\varphi_j (x)\varphi_k(x) dx=\begin{cases} 0,&j\ne k \\ a_k>0,& j = k \end{cases}$$

若 $a_k = 1$，则称标准正交。

最小二乘逼*

引入：对于不一致的方程组求解。希望找到一组“偏差”较小的解。对此我们可以找到“最小二乘解”。

比如我们要用一次函数拟合一些数据点 $(x_i,y_i)$，则有方程组 $ax_i+b=y_i$（$i=1,\cdots,n$）可以写成矩阵形式：

$$\mat{x_1&1\\\vdots & \vdots\\x_n& 1}\mat{a\\b} = \mat{y_1\\\vdots\\y_n}$$

最小二乘解就是使得 $\sum (y_i - ax_i -b)^2$ 最小的解。

$Ax=b$ 无解，就是说 $b$ 不在 $R(A)$ 中。但是我们把 $b$ 投影到 $R(A)$ 上，取投影为 $A\bar x$，此时 残差 $e=b- A\bar x$ 垂直于 $R(A)$，取到最小。$||e|| = \sum (y_i -ax_i -b)^2$ 正好可以取到最小。

所以有 $A^T(b-Ax)=0$，可得 $A^TA x = A^T b$ 。

但实际上这么操作是误差极大的，因为条件数 $\op{cond}(A)$ 很大。

我们要对 $A=QR$ 分解。$||e|| = ||QRx-b|| = ||Rx-Q^Tb||$，所以做变换 $b \gets Q^Tb$ 和 $A \gets R$，再继续即可。

数据线性化

$$y=c_1e^{c_2t} \Rightarrow \ln y = \ln c_1 + c_2t$$

由此可以进行两种不同的拟合，二者误差也不一样。（虽然直接拟合并没有很好的方法）

最佳*方三角逼* ~ Fourier 级数

$$S_n(x) = \frac{1}{2}a_0 + \sum_{k=1}^{n} a_k\cos kx+b_k\sin kx$$

其中：

$$a_k = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x)\cos kx \op{d}x \\ b_k = \frac{1}{\pi} \int_0^{2\pi} f(x)\sin kx \op{d}x$$

离散三角插值多项式

给定了一些点值 $x_j = \frac{2\pi j}{2m+1}$（$j=0,\cdots,2m$）。

$$\mat{\frac{1}{2} & \cos x_1& \sin x_1 & \cdots & \cos x_m & \sin x_m \\ }$$

$$a_k = \frac{2}{2m+1} \sum _{j=0}^{2m} f_j \cos \frac{2\pi j k}{2m+1}\\ b_k = \frac{2}{2m+1} \sum _{j=0}^{2m} f_j \sin \frac{2\pi j k}{2m+1}$$

离散傅里叶变换

取：$e^{\op{i}jx} = \cos (jx) + \op{i} \sin (jx)$

给定等距点值 $(\frac{2\pi}{N}j,f_j)$

$$S(x) = \sum_{k=0}^{n-1} C_k e^{\op{i}kx}$$

其中

$$C_k = \frac{1}{N} \sum _{j=0}^{N-1} f_j e^{-\op{i}kj \frac{2\pi}{N}}$$