【笔记】大一下数值分析碎碎念——数值积分与微分

数值微分与积分

数值微分：只利用 $f(x)$ 来计算 $f',f'',\cdots$

比如

• $f'(x_0) \approx \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$ 两点前向差分。
• $f'(x_0) \approx \frac{f(x_0 +h) - f(x_0-h)}{2h}$ 三点中心差分。

误差分析：

设 $f\in C^2[a,b]$

$$f(x_0+h) = f(x_0) + f'(x_0)h + \frac{f''(\xi)}{2}h^2 \\ f'(x_0) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h} + \frac{f''(\xi)}{2}h$$

设 $f \in C^3[a,b]$

$$f'(x_0) = \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h} - \frac{f'''(\xi)}{6}h^2$$

插值多项式

我们拿 $(x_0,f(x_0)),(x_0+h,f(x_0+h))$ 出来牛顿插值：

$P_1(x)= f(x_0) + f[x_0,x_0+h](x-x_0)$

得到 $P'_1(x_0) = f[x_0,x_0+h]= \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$

同理拿三个点出来

$P_2(x) = f(x_0) + f[x_0-h，x_0](x-x_0) + f[x_0-h,x_0,x_0+h](x-0)(x-x_0+h)$

$P'_2(x) = \frac{f[x_0-h,x_0]}{2}+\frac{f[x_0,x_0+h]}{2} = \frac{f(x_0+h)-f(x_0-h)}{2h}$

注意到上面系数之和是 $0$。

舍入误差

因为计算机计算时舍入误差的存在，$h$ 并不是越小越好。

三点中心差分误差估计

理查森外推

完全没听懂，都不知道在干什么。

理查森外推（Richardson extrapolation）是一种数值分析技术，用于提高数值逼近的精度。它通过计算一系列逼近值并使用这些值来推断更精确的结果来实现这一目的。

理查森外推的基本思想是，如果我们有一个数值逼近公式，它的误差与某个参数（例如步长）的幂次成正比，那么我们可以通过计算不同参数下的逼近值，并使用这些值来消除误差中较低阶的项，从而获得更精确的结果。

理查森外推常用于数值微分和数值积分中，用于提高逼近公式的精度。它也可以与其他数值方法结合使用，以提高计算结果的精度。

数值积分

• 基本思想：用低阶多项式来逼近待积分函数，用简单定积分代替

插值型数值积分：Newton-Cotes 公式

拉插后积分：

$$\int_a^b f(x) dx\approx I _n = \int_a^bP_n(x)dx = \sum_{k=0}^n f(x_n)\int_a^b L_k(x) dx\\= (b-a)\sum C_k^{(n)}f(x_k)$$

其中 $C_k^{(n)}= \frac{1}{b-a}\int_a^b L_k(x)dx$

梯形法则

用梯形拟合

辛普森法则

用抛物线拟合

复合牛顿-科特斯公式

代数精度

注意！是使得积分精确，不一定要完全拟合。

龙贝格积分

每次区间划分段 $*2$，然后把中间的加进去分割。

龙贝格表格

龙贝格表格（Romberg table）是一种用于数值积分的算法，它通过递归地应用梯形规则和理查森外推来提高积分的精度。表格的第一行包含梯形规则的结果，而后续行则通过理查森外推来计算更精确的积分值。随着表格扩展，积分的精度会逐渐提高，直到达到所需的精度为止。

自适应积分

梯形法

高斯积分

找到节点和权函数使得：

$$\int_a^bf(x) dx \approx \sum_{i=0}^n A_k f(x_k)$$

具有最高的代数精度。自由度有 $2n+2$。精度的上界是 $2n+1$。能否取到？

Gauss 点

证明：

• 左推右：

设 ${x_k}$ 是高斯点。那么 $\forall Q(x) \in \mathcal{P}_{2n-1}(\R)$ 有

$$\int_a^b Q(x) = \sum_{k=0}^n A_kQ(x_k)$$

那么 $\forall P(x) \in \mathcal{P}_n(\R)$ 有

$$\int _a^b P(x)w(x) = \sum_{k=0}^n A_kP(x_k)w(x_k) = 0$$

• 右推左

$\forall Q(x) \in \mathcal{P}_{2n+1}(\R)$，有

$$Q(x) = P(x)w(x) + R(x)$$

于是有

$$\int_a^b Q(x) = \int _a^bR(x)$$

......

勒让德多项式

• 正交系
• $P_n(x)$ 是 $n$ 次多项式。
• 递推关系 $(n+1)P_{n+1}(x) = (2n+1)xP(x) - nP_{n-1}(x)$

Legendre 多项式的根

定理：设 $x_k$ 为勒让德多项式 $P_n(x)$ 的根，则高斯积分中

$$a_i = \int_{-1}^1 \prod _{j=1,j\ne i}^n \frac{x-x_j}{x_i-x_j}dx$$

则对于任意次数 $<2n$ 的多项式 $P(x)$，有：

$$\int_{-1}^1 P (x) dx = \sum_{i=1}^n a_iP(x_i)$$

对于任意区间 $[a,b]$，换元即可。