【笔记】本原多项式之积仍为本原多项式

定义：多项式 \(f(x)=\sum_{i=0}^{n} a_ix^i\) 是本原多项式（primitive polynomial），如果 \(\gcd(a_0,\cdots,a_n)=1\)。

结论：本原多项式之积仍为本原多项式。

证明：WLOG，设 \(f(x) = \sum_{i=0}^{n} a_ix^i,g(x) = \sum_{i=0}^{n} b_ix^i\)（如果最高次不同显然可以通过加 \(0x^i\) 的方式使之相等）

设 \(h(x) = f(x)g(x) = \sum_{i=0}^{2n} c_i x^i\)。

反证：设 \(\gcd(c_i) = k > 1\)，任取 \(k\) 的一个质因子 \(p\)。考虑之后所有运算在模 \(p\) 意义下进行。

我们可以把 \(c_i\) 的表达式写出并排成如下样子（以 \(n=3\) 为例）：

\[\begin{bmatrix} c_0 = & a_0b_0 & & & \\ c_1 = & a_0b_1 & a_1b_0 & & \\ c_2 = & a_0b_2 & a_1b_1 & a_2b_0 & \\ c_3 = & a_0b_3 & a_1b_2 & a_2b_1 & a_3b_0 \\ c_4 = & & a_1b_3 & a_2b_2 & a_3b_1 \\ c_5 = & & & a_2b_3 & a_3b_2 \\ c_6 = & & & & a_3b_3 \\ \end{bmatrix} \]

从上到下依次考虑 \(c_0,c_1,\cdots,c_{2n}\) 要是 \(p\) 的倍数。

\(c_0 = a_0b_0\)，那么必然有 \(a_0=0\) 或 \(b_0=0\)。

发现，如果我们决定 \(a_i=0\)，把含 \(a_i\) 项的全部删掉，那么删掉的都位于同一列；同理，把 \(b_i\) 项删掉，那么删掉的都是同一行。

再看 \(c_1\)，两项中必然只有一项留住了，你需要在这一项中的两个元素中决定谁是 \(0\)。

再看 \(c_2\)，三项中必然只有一项留住了。你需要在这一项中的两个元素中决定谁是 \(0\)。

……

显然，要么 \(a_i\) 全部是 \(0\)，要么 \(b_i\) 全部是 \(0\)，否则没法让 \(c_i\) 全都是 \(0\)。（考虑极限情况，删了 \(n\) 行 \(n\) 斜行，总共删掉了 \(2(n+1)n-n^2=n(n+1)\) 个元素，还剩了一个）

但是这种情况下 \(p | a_i\) 或 \(p|b_i\)，这就与 \(f(x)\) 或 \(g(x)\) 是本原多项式矛盾，